行列式的错列展开定理（C003）

问题

已知，行列式中

a_{i j}

表示第

i

行第

j

列的元素，

A_{i j}

表示该元素的代数余子式，

M_{i j}

表示该元素的余子式，

D

表示该行列式的值。

则，如果要使用元素 $a_{i j}$ 和第 $j$ 列（ $i$ $\neq$ $j$ ）展开该行列式，以下哪个选项是正确的？

[A].

a_{1 i}

A_{1 j}

+

a_{2 i}

A_{2 j}

+

\dots

+

a_{n i}

A_{n j}

=

0

[B].

a_{1 i}

M_{1 j}

+

a_{2 i}

M_{2 j}

+

\dots

+

a_{n i}

M_{n j}

=

0

[C].

a_{1 i}

A_{1 j}

+

a_{2 i}

A_{2 j}

+

\dots

+

a_{n i}

A_{n j}

=

D

[D].

a_{1 i}

A_{1 j}

+

a_{2 i}

A_{2 j}

+

\dots

+

a_{n i}

A_{n j}

=

1

行列式某一行或某一列的元素 $a_{i j}$ 分别与另一行或另一列的对应元素的代数余子式的乘积之和等于 0, 即：

$a_{1 i}$ $A_{1 j}$ $+$ $a_{2 i}$ $A_{2 j}$ $+$ $\dots$ $+$ $a_{n i}$ $A_{n j}$ $=$ $0$ .