分类： 线性代数

题目 02

齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{r}
2 x_{1}+x_{2}-2 x_{3}+x_{4}=0 \\
x_{1}-2 x_{2}+4 x_{3}-7 x_{4}=0 \\
3 x_{1}-x_{2}+2 x_{3}-4 x_{4}=0 \end{array}\right.$ 的基础解系是（）

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解析 02

首先，将系数矩阵化简：

$$
\left[\begin{array}{cccc}2 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & -2 & 4 & -7 \\ 3 & -1 & 2 & -4\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
\left[\begin{array}{cccc}1 & -2 & 4 & -7 \\ 0 & -5 & -10 & 15 \\ 0 & 5 & -10 & 17\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
\left[\begin{array}{cccc}1 & -2 & 4 & -7 \\ 0 & 1 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
\left[\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right] \Rightarrow
$$

于是可知，该系数矩阵的秩为 $3$, 因此，其有 $4-3=1$ 个自由未知数，该自由未知数为 $x_{3}$, 因此：

$$
x_{3}=1, x_{4}=0 \Rightarrow x_{2}=2, x_{1}=0
$$

于是可知，该齐次线性方程组的基础解系为：

$$
(0, 2, 1, 0)^{\top}
$$

---

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ 是三阶矩阵，$\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 是三维列向量, 其中 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 坐标不成比例, $\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表出, 则 $r(\boldsymbol{A})=?$

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继续阅读“不能表示所有向量的向量组一定线性相关”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 5 & 6 & 7\end{array}\right]$, $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cccc}0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right]$, 则秩 $r(\boldsymbol{A B}+2 \boldsymbol{A})=?$

难度评级：

继续阅读“大于四阶的常数矩阵乘法一般是不需要我们真的去计算的”

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ 是向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,4,3)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(2, a,-1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(a+1,3,1)^{\mathrm{\top}}$ 的一个极大线性无关组，则 $a=?$

难度评级：

继续阅读“已知极大线性无关组求解未知数的值：记得回头验证”

一、题目

向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(2,1,3)^{\mathrm{T}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,2,1)^{\mathrm{T}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(3,3,4)^{\mathrm{T}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{4}=(5,1,8)^{\mathrm{T}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{5}=(0,0$, $2)^{\mathrm{T}}$ 的一个极大线性无关组是（）

难度评级：

继续阅读“极大线性无关组就是所有线性无关向量的集合”

一、题目

已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(a, a, 1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(a, 1, a)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(1, a, a)^{\mathrm{\top}}$ 的秩是 $2$, 则 $a=?$

难度评级：

继续阅读“怎么保证这道题目中矩阵的秩为二：回头验证很重要”

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1,-1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,-1, a)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(a, 2,1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\beta}=\left(4,-4, a^{2}\right)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\gamma}=$ $(a, b, c)^{\mathrm{\top}}$. 如 $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表出, 但 $\boldsymbol{\gamma}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示, 则 $a=?$

难度评级：

继续阅读“化简列向量组只能使用初等行变换吗？不是的，但最好只使用初等行变换”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & a & 4 \\ 1 & 0 & 2 & a \\ -1 & a & 1 & 0\end{array}\right]$, $r(\boldsymbol{A})=3$, 则 $a$ 需要满足什么条件？

难度评级：

继续阅读“秩与行阶梯形矩阵总是形影不离”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $5 \times 4$ 矩阵，若 $\boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}$ 是齐次方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系, 则 $r\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}\right)=?$

难度评级：

继续阅读“基础解系中解的个数就是系数矩阵中自由未知数的个数”

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,4,2)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,7,3)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(0,1, a)^{\mathrm{\top}}$ 可以表示任意一个三维向量，则 $a$ 的取值为（）

难度评级：

继续阅读“能表示任意向量的向量一定等价于单位向量”

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,3,2,0)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,-1,4,1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(5,1,6,2)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\beta}=(7, a, 14,3)^{\mathrm{\top}}$, 且 $\boldsymbol{\beta}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，则 $a$ 的取值为（）

难度评级：

继续阅读“当系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩时，线性方程组无解”

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,3, a)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(1, a+2,-2)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\beta}=(1,3,0)^{\mathrm{\top}}$. 若 $\boldsymbol{\beta}$ 可 由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，且表示法不唯一，则 $a=?$

难度评级：

继续阅读“只要说非齐次线性方程组的解“不唯一”——就是有“无穷多解””

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}-3 \boldsymbol{\alpha}_{3}$, $a \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+2 \boldsymbol{\alpha}_{3}$, $2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+3 \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 亦线性无关，则 $a$ 的取值（）

难度评级：

继续阅读“线性无关的矩阵乘以线性无关的矩阵一定得线性无关的矩阵”

一、题目

已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,-1,1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,0, t, 0)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(0,-4,5, t)^{\mathrm{\top}}$ 线性无关，则 $t$ 的取值为（）

难度评级：

继续阅读“当题目问“取值是多少”而不是“等于多少”时，正确的答案则很可能不是一个具体的数字——可能是多个具体数字，也可能是某个取值范围”

一、题目

已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,3)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(3,-1,2)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(2,3, t)^{\mathrm{\top}}$ 线性相关，则 $t=?$

难度评级：

继续阅读“线性相关的向量组对应的行列式一定不满秩”