不能表示所有向量的向量组一定线性相关

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ 是三阶矩阵，$\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 是三维列向量, 其中 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 坐标不成比例, $\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表出, 则 $r(\boldsymbol{A})=?$

难度评级：

二、解析

由于 $\alpha_{1}$ 和 $\alpha_{2}$ 不成比例，因此：

$$
r(A) \geqslant 2
$$

又由 $\alpha_{4}$ 不能由 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出可知，$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 一定线性相关，于是：

$$
r(A) \leqslant 2
$$

综上可知：

$$
r(A) = 2
$$

---