题目 01
齐次线性方程组 $\left\{\begin{aligned}
x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+x_{4} & =0 \\
2 x_{1}-x_{2}+x_{3}-3 x_{4} & =0 \\
x_{1} \quad \quad \quad +x_{3}-x_{4} & =0
\end{aligned}\right.$ 的基础解系是（）
难度评级：
解析 01
先化简：
$$
\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & -1 & 1 & -3 \\ 1 & 0 & 1 & -1\end{array}\right] \Rightarrow
$$
$$
\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & -5 & -5 & -5 \\ 0 & -2 & -2 & -2\end{array}\right] \Rightarrow
$$
$$
\left[\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \Rightarrow
$$
$$
\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}\end{array}\right]=0.
$$
于是可知，该系数矩阵的秩为 $2$, 则其自由未知数为 $4-2=2$ 个，其中 $x_{3}$ 和 $x_{4}$ 为自由未知数，$x_{1}$ 和 $x_{2}$ 为非自由未知数：
$$
x_{3}=1, x_{4}=0 \Rightarrow x_{2}=-1, x_{1}=-1
$$
$$
x_{3}=0, x_{4}=1 \Rightarrow x_{2}=-1, x_{1}=1
$$
综上可知，该齐次线性方程组的基础解系为：
$$
(-1,-1,1,0)^{\top}, \quad (1,-1,0,1)^{\top}
$$