在学怎么找函数零点的个数？这里刚好有一道典型例题！

一、题目

求解下面这个函数零点的个数：

$$
f(x) = 3 \ln x – x
$$

难度评级：

二、解析

Tips:

1. 一阶导为零的点是驻点而不是零点；
2. 零点就是函数值为零的点。

$$
f^{\prime} (x) = \frac{3}{x} – 1
$$

令 $f^{\prime}(x) = 0$, 则：

$$
x = 3
$$

且：

$$
f(3) = (3 \ln 3 – 3) > (3 \ln e – 3) = 0 \Rightarrow
$$

Tips:

e $\approx$ 2.718.

$$
f(3) > 0
$$

又：

$$
\begin{cases}
& 0 0;\\
& x > 3 \Rightarrow f^{\prime}(x) < 0.
\end{cases}
$$

因此，函数 $f(x)$ 在 $(0, 3)$ 区间上单调递增，在 $(3, + \infty)$ 区间上单调递减。

又：

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = – \infty < 0
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} = -\infty < 0
$$

因此，函数 $f(x)$ 在区间 $(0, 3)$ 和区间 $(3, +\infty)$ 上各有一个零点，一共有两个零点。

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