你能看出这道题该用哪个中值定理吗？

一、题目

已知 $f(0)=0$, $f^{\prime}(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 为严格单调增函数,则函数 $g(x)=\frac{1-f(x)}{x}$ 在 $(0$, $+\infty)$ 上是单调递增还是单调递减？

难度评级：

二、解析

$$
g(x)=\frac{1-f(x)}{x} \Rightarrow
$$

$$
g^{\prime}(x)=\frac{-x f^{\prime}(x)-1+f(x)}{x^{2}} \Rightarrow
$$

$$
g^{\prime}(x)=\frac{-1}{x^{2}}-\frac{x f^{\prime}(x)-f(x)}{x^{2}} \Rightarrow
$$

根据拉格朗日中值定理：

$$
存在 \quad \xi \in(0, x) \Rightarrow f^{\prime}(\xi)=\frac{f (x)-f(0)}{x-0} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(\xi)=\frac{f(x)}{x} \Rightarrow f(x)=x f^{\prime}(\xi) \Rightarrow
$$

$$
g^{\prime}(x)=\frac{-1}{x^{2}}-\frac{x f^{\prime}(x)-x f^{\prime}(\xi)}{x^{2}} \Rightarrow
$$

$$
g^{\prime}(x)=\frac{-1}{x^{2}}-\frac{f^{\prime}(x)-f^{\prime}(\xi)}{x}.
$$

又：

$$
f^{\prime}(x)>f^{\prime}(\xi), \quad x>0 \Rightarrow \frac{f^{\prime}(x) -f^{\prime}(\xi) }{x} > 0 \Rightarrow
$$

$$
\frac{-1}{x^{2}}<0.
$$

于是：

$$
g^{\prime} (x) < 0.
$$

综上可知，函数 $g(x)$ 单调递减。

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