这道题看似是一道变限积分求导题，其实是一道二重积分计算题

一、题目

已知 $f(t)=\int_{0}^{t} \mathrm{~d} x \int_{x}^{t} \mathrm{e}^{t y^{2}} \mathrm{~d} y$, 则 $f^{\prime}(1)=?$

难度评级：

二、解析

$$
\int_{0}^{t} \mathrm{d} x \int_{x}^{t} e^{t y^{2}} \mathrm{d} y \Rightarrow
$$

交换积分次序：

$$
\int_{0}^{t} \mathrm{d} y \int_{0}^{y} e^{t y^{2}} \mathrm{d} x \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{t} e^{t y^{2}} \mathrm{d} y \int_{0}^{y} 1 \mathrm{d} x \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{t} y e^{t y^{2}} \mathrm{d} y \Rightarrow
$$

又：

$$
\left(e^{t y^{2}}\right)^{\prime} y=2 y t \cdot e^{t y^{2}}.
$$

于是：

$$
\int_{0}^{t} y e^{t y^{2}} \mathrm{d} y=\left.\frac{1}{2 t} e^{t y^{2}}\right|_{0} ^{t}=
$$

$$
\frac{1}{2 t}\left(e^{t^{3}}-1\right)=f(t).
$$

因此：

$$
f^{\prime}(t)=\frac{-2}{4 t^{2}}\left(e^{t^{2}}-1\right)+\frac{1}{2 t}\left(3 t^{2} e^{t^{3}}\right)
$$

进而：

$$
f^{\prime}(1)=\frac{-2}{4}(e-1)+\frac{1}{2} \times 3 e=
$$

$$
\frac{-1}{2} e+\frac{1}{2}+\frac{3}{2} e= e+\frac{1}{2}.
$$

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