题目没给变量的取值范围就一定不能去掉绝对值符号吗？不！

一、题目

已知 $\sin x \ln |x|$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则不定积分 $\int x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x = ?$

难度评级：

二、解析

由题可知：

$$
(\sin x \ln |x|)^{\prime}=f(x)
$$

于是：

$$
\int x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\int x \mathrm{d} [f(x)]=
$$

$$
x f(x)-\int f(x) \mathrm{d} x=
$$

$$
x(\sin x \ln |x|)^{\prime}-\sin x \ln |x|+c \Rightarrow
$$

$$
x \cos x \ln |x|+x \sin x(\ln |x|)^{\prime}-\sin x \ln |x|+C.
$$

又：

$$
x>0 \Rightarrow(\ln |x|)^{\prime}=(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}
$$

$$
x<0 \Rightarrow(\ln |x|)^{\prime}=-[\ln (-x)]^{\prime}=-\frac{-1}{x}=\frac{1}{x}
$$

Tips:

上面这步处理绝对值的操作是本题的关键。

因此：

$$
x \cos x \ln |x|+x \sin x(\ln |x|)^{\prime}-\sin x \ln |x|+C=
$$

$$
x \cos x \ln |x|+x \sin x \cdot \frac{1}{x}-\sin x \ln |x|+C=
$$

$$
x \cos x \ln |x|+\sin x-\sin x \ln |x|+C.
$$

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