你会解这个“双层”的变限积分求导题吗

一、题目

已知函数 $F(x)$ $=$ $\int_{0}^{x}\left(\int_{0}^{u^{2}} \ln \left(1+t^{2}\right) \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} u$, 则曲线 $y=F(x)$ 在其定义域上的凹凸性如何？

难度评级：

二、解析

$$
F(x)=\int_{0}^{x}\left(\int_{0}^{u^{2}} \ln \left(1+t^{2}\right) \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} u \Rightarrow
$$

Tips:

由 $\mathrm{d} u$ 可知，外层积分的积分变量是 $u$, 因此，对外层而言，在内层式子 $\int_{0}^{u^{2}} \ln \left(1+t^{2}\right) \mathrm{d} t$ 中，只有 $u$ 被可以被看作变量，而内层式子中的 $t$ 要看做常数处理。

$$
F^{\prime}(x)=\int_{0}^{x^{2}} \ln \left(1+t^{2}\right) \mathrm{d} t \Rightarrow
$$

$$
F^{\prime \prime}(x)=2 x \cdot \ln \left(1+x^{4}\right) \Rightarrow
$$

$$
\begin{cases}
& x<0 \Rightarrow F^{\prime \prime}(x)<0; \\
& x>0 \Rightarrow F^{\prime \prime}(x)>0; \\
& x=0 \Rightarrow F^{\prime \prime}(x)=0
\end{cases}
$$

综上可知，曲线 $y=F(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 是凸的,在 $(0,+\infty)$ 是凹的。

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