一、题目
$$
I=\int_{0}^{1} x^{4} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \mathrm{~d} x=?
$$
难度评级：
继续阅读“有根号有平方：三角代换用起来！”分类： 高等数学
配方法和代换法：你会用哪种方法做这道题？
挖掘题目隐含条件的利器：配方法
一、前言 
在考研数学中，有些题目可以使用配方法对原式进行恒等变形，从而挖掘出解题的隐含条件——用好配方法，可以大大加快解题速度。
在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）将用简单有效的表述阐述清楚什么是配方法，以及如何使用配方法。
难度评级：
继续阅读“挖掘题目隐含条件的利器：配方法”这个不等式反映了积分的本质原理
一、题目
已知 $f(x)$ 一阶可导, $f(x)>0$, $f^{\prime}(x)>0$, 则当 $\Delta x>0$ 时，$\int_{x}^{x + \Delta x} f(t) \mathrm{d} t$, $f(x) \Delta x$ 和 $0$ 的大小关系如何？
难度评级：
继续阅读“这个不等式反映了积分的本质原理”有界震荡间断点处是可积的
一、题目
已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}, F(x)=\int_{-1}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right.$, 则 $F(x)$ 在 $(-1,1)$ 区间上具有什么特征？
难度评级：
继续阅读“有界震荡间断点处是可积的”原函数和导数之间的那些性质都在这道题里了
一、题目
已知 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上的一个原函数, 则据此能得出 $f(x)+F(x)$ 在 $(a, b)$ 内的哪些性质？
难度评级：
继续阅读“原函数和导数之间的那些性质都在这道题里了”如何判断一个函数是否存在原函数
你会判断积分不等式和某个数字之间的大小关系吗？
一、题目
证明下面两个式子是成立的：
1.
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan x}{x} \mathrm{~d} x<1
$$
2.
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x>1
$$
难度评级：
继续阅读“你会判断积分不等式和某个数字之间的大小关系吗？”你会判断积分不等式的正负性吗？
一、题目
证明下面两个结论：
1.
$$
\int_{0}^{2 \pi} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x>0
$$
2.
$$
\int_{0}^{2 \pi} \cos x \cdot \ln (2+\cos x) \mathrm{d} x>0
$$
难度评级：
继续阅读“你会判断积分不等式的正负性吗？”快速判断函数奇偶性的方式汇总（包含易记口诀）
一、前言
我们知道，当 $f(-x) = f(x)$ 时，该函数是偶函数，当 $f(-x) = -f(x)$ 时，该函数是奇函数。
但是，对于一些复杂的函数，直接使用上面的公式判断会过于复杂——如果理解并掌握了本文中提到的口诀，在很多时候可以帮助我们快速判断一些函数的奇偶性。
继续阅读“快速判断函数奇偶性的方式汇总（包含易记口诀）”这道题看似是一道变限积分求导题，其实是一道二重积分计算题
一、题目
已知 $f(t)=\int_{0}^{t} \mathrm{~d} x \int_{x}^{t} \mathrm{e}^{t y^{2}} \mathrm{~d} y$, 则 $f^{\prime}(1)=?$
难度评级：
继续阅读“这道题看似是一道变限积分求导题，其实是一道二重积分计算题”你能看出这道题该用哪个中值定理吗？
一、题目
已知 $f(0)=0$, $f^{\prime}(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 为严格单调增函数,则函数 $g(x)=\frac{1-f(x)}{x}$ 在 $(0$, $+\infty)$ 上是单调递增还是单调递减？
难度评级：
继续阅读“你能看出这道题该用哪个中值定理吗？”想求解这个答案需要猜一猜
只要坚持导数存在则“左导等于右导”的原则，这道题你就会做啦
一、题目
已知函数 $g(x)$ 在 $x=a$ 点处连续，且函数 $f(x)=|x-a| g(x)$ 在 $x=a$ 点处可导, 则 $g(a)$ 需要满足什么条件？
难度评级：
继续阅读“只要坚持导数存在则“左导等于右导”的原则，这道题你就会做啦”你会用一点处导数的定义解这道题吗？（补充：求导不会改变函数的周期）
一、题目
已知函数 $f(x)$ 是以 3 为周期的可导函数且 $f^{\prime}(4)=1$, 则：
$$
\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1-3 \tan h)}{h} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“你会用一点处导数的定义解这道题吗？（补充：求导不会改变函数的周期）”