有界震荡间断点处是可积的

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}, F(x)=\int_{-1}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right.$, 则 $F(x)$ 在 $(-1,1)$ 区间上具有什么特征?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

根据有界震荡的知识可知,函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处是可积的,也就是说,函数 $f(x)$ 在 $(-1, 1)$ 区间上是连续的,因此,根据连续必有原函数的原理可知,函数 $f(x)$ 可积,也就是说 $F(x)$ 可导,因此:

函数 $F(x)$ 在 $(-1,1)$ 区间上为连续有界函数。


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