一、题目
$$
I=\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x=?
$$
难度评级：
二、解析 
代换法
$$
I=\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{~ d} x=
$$
$$
I=\int_{0}^{1} \sqrt{\frac{x^{2}}{x(1-x)}} \mathrm{~ d} x=
$$
$$
I=\int_{0}^{1} \sqrt{\frac{x}{1-x}} \mathrm{~ d} x=
$$
又：
$$
t=\sqrt{\frac{x}{1-x}} \Rightarrow x \in(0,1) \Rightarrow t \in(0,+\infty) .
$$
$$
x=\frac{t^{2}}{1+t^{2}} \Rightarrow \mathrm{~ d} x=\frac{2 t\left(1+t^{2}\right)-2 t^{3}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}} \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
$$
\mathrm{~ d} x=\frac{2 t}{\left(1+t^{2}\right)^{2}} \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
$$
\left(\frac{1}{1+t^{2}}\right)^{\prime}=\frac{-2 t}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}
$$
于是：
$$
I=\int_{0}^{+\infty} \frac{2 t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}} \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
$$
I=-\int_{0}^{+\infty} t \mathrm{~d} \left(\frac{1}{1+t^{2}}\right) \Rightarrow
$$
$$
I=-\left[\left.\frac{t}{1+t^{2}}\right|_{0} ^{+\infty}-\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+t^{2}} \mathrm{~ d} t\right]
$$
$$
I=\left.\arctan t\right|_{0} ^{+\infty}-(0-0) \Rightarrow
$$
$$
I=\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}.
$$
配方法
Tips:
关于配方的基础知识可以参考这篇文章《挖掘题目隐含条件的利器：配方法》。
由配方法可得：
$$
x(1-x) \Rightarrow x-x^{2} \Rightarrow-\left(x^{2}-x\right) \Rightarrow
$$
$$
-\left[\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}\right] \Rightarrow \frac{1}{4}-\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}
$$
于是：
$$
I=\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{~ d} x=
$$
$$
\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{\frac{1}{4}-\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}} \mathrm{~ d} x =
$$
根据“左加右减”原理，将 $x$ 替换为 $x + \frac{1}{2}$ 相当于把整个式子向左平移 $\frac{1}{2}$ 个单位，得：
$$
\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{4}-x^{2}}} \mathrm{~ d} x=
$$
拆分：
$$
\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{\frac{1}{4}-x^{2}}} \mathrm{~ d} x+\frac{1}{2} \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}-x^{2}}} \mathrm{~ d} x=
$$
$$
0+\frac{1}{2} \times 2 \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}-x^{2}}} \mathrm{~ d} x=
$$
$$
\frac{1}{4}-x^{2}=\frac{1-4x^{2}}{4} \Rightarrow
$$
$$
I =\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{2}{\sqrt{1-4x^{2}}} \mathrm{~ d} x =
$$
$$
\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{\mathrm{d} (2x)}{\sqrt{1-(2x)^{2}}} =
$$
$$
\arcsin (2 x)\Big|_{0} ^{\frac{1}{2}}=\arcsin (1)-\arcsin (0) \Rightarrow
$$
$$
I=\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}.
$$