如何判断一个函数是否存在原函数

一、前言

在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）介绍了快速判断一个函数是否存在原函数的三个方法。

若函数 $f(x)$ 在某区间上连续，则 $f(x)$ 一定有原函数；
如果函数 $f(x)$ 在某区间上不连续，则当该区间内存在第一类可去间断点、第一类跳跃间断点或者第二类无穷间断点时，$f(x)$ 在此区间内，一定不存在原函数；
如果函数 $f(x)$ 在某区间上不连续，且在该区间内有第二类振荡间断点，则在此区间内，$f(x)$ 是否有原函数不确定。

Tips:
并不是所有原函数都能用初等函数表示出来。

拓展结论：

如果函数 $f(x)$ 在某区间上存在原函数 $F(x)$, 则在该区间上会有如下结论：

$f(x)$ 不一定连续（不连续不一定没有原函数——$F(x) = \int_{0}^{x} f(x) \mathrm{~ d} x$——一般情况下不连续的函数是不可积的，但是在某些特殊情况下，也可以在瑕积分中取极限或者分段的方式计算积分，从而求出原函数）；
$F(x)$ 一定连续（可导必连续）；
$f(x)$ 和 $F(x)$ 都不一定是初等函数。