分类： 高等数学

题目

设函数 $f(x)$ 具有 $2$ 阶导数，$g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x,$ 则在区间 $[0,1]$ 上 ( )

( A ) 当 $f^{\prime }(x)⩾0$ 时，$f(x)⩾g(x).$

( B ) 当 $f^{\prime }(x)⩾0$ 时，$f(x)⩽g(x)$.

( C ) 当 $f”(x)⩾0$ 时，$f(x)⩾g(x)$.

( D ) 当 $f”(x)⩾0$ 时，$f(x)⩽g(x)$.

一、题目

设二维随机变量 $(X,Y)$ 服从正态分布 $N(\mu ,\mu ;{\sigma }^2,{\sigma }^2;0),$ 则 $E(X{Y}^2)=$____.

二、解析

由于在正态分布 $X\sim$ $N(\mu ,{\sigma }^2)$中 $E(X)=\mu$, $D(X)={\sigma }^2.$ 而且二维正态分布中依然遵循这一定理。

于是，根据题目中的条件我们知道，$E(X)=$ $E(Y)=\mu$, $D(X)=$ $D(Y)=$ ${\sigma }^2.$

又由 $\rho =0$ 我们知道，$X$ 与 $Y$ 相互独立。根据随机变量的独立性中的如下性质：

若 $X_1,X_2,$ $\dots ,$ $X_n,$ $Y_1,$ $Y_2,$ $\dots ,$ $Y_m$ 相互独立，$f(\cdot )$ 为 $n$ 元连续函数且 $g(\cdot )$ 为 $m$ 元连续函数，则 $f(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 与 $g(X_1,X_2,\cdots ,X_m)$ 也相互独立。

因此，我们知道，$X$ 与 $Y^2$ 也相互独立，于是有：
$E(X{Y}^2)=$ $E(X)E(Y^2)=$ $E(X)\times [D(Y)+E^2(Y)]=$ $\mu ({\sigma }^2+{\mu }^2).$

综上可知，本题的正确答案是：$\mu ({\sigma }^2+{\mu }^2)$.

EOF

一、题目

设二维随机变量$(X,Y)$ 服从正态分布 $N(1,0;1,1;0),P\{XY-Y<0\}=$____.

二、解析

解答本题需要掌握正态分布和二维正态分布两部分知识。

1. 正态分布

正态分布通常用下面的公式表示：

$$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2).$$

其中 $\mu$ 表示数学期望（或称“均数”），${\sigma }^2$ 表示方差，$\sigma$ 表示标准差。

参数 $\mu$ 决定了正态分布的分布图像在坐标系中的位置，正态分布的图像以 $x$ $=$ $\mu$ 为对称轴，左右完全对称。在正态分布中，数学期望 $=$ 均数 $=$ 中位数 $=$ 众数 $=$ $\mu .$

参数 ${\sigma }^2$ 决定了正态分布中随机变量的离散程度，$\sigma$ 越小，数据就越集中，反之，若 $\sigma$ 越大，数据就越集中。反应在正态分布的图像中就是，当 $\sigma$ 越小的时候，正态分布的图像越窄高，$\sigma$ 越大的时候，正态分布的图像越扁平。

正态分布的图像在 $(\mu –\sigma ,\mu +\sigma )$ 区间内存在拐点，拐点附近的形状上表现为中间高两边低的特点。

特别地，$X\sim N(0,1)$ 为标准正态分布，其分布图象关于 $y$ 轴对称。

如图 1 是几种不同的正态分布图像，反映了参数 $\mu$ 和 $\sigma$ 对正态分布图像的影响，其中红色线表示的为标准正态分布：

2. 二维正态分布

二维正态分布可记作如下形式：

$(X,Y)$ $\sim$ $N({\mu }_1,{\mu }_2;{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2;\rho ).$

在本题中，需要用到关于二维正态分布的如下两个性质：

① $X$ $\sim$ $N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$; $Y$ $\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$;

② $X$ 与 $Y$ 独立的充要条件是 $\rho =0.$ 我们可以使用如下 MATLAB 代码绘制二维正态分布条件概率密度函数图像：

x=-5:0.01:5;
y=-5:0.01:5;
mu=[-1,2];
sigma=[1 1; 1 3]; %输入均值向量和协方差矩阵,可以根据需要修改
[X,Y]=meshgrid(x,y); %产生网格数据并处理
p=mvnpdf([X(:),Y(:)],mu,sigma);
P=reshape(p,size(X)); %求取联合概率密度
figure(2)
surf(X,Y,P)
shading interp
colorbar
title('二维正态分布条件概率密度函数图像');

我在 MATLAB R2016b 上运行上述代码得到的二维正态分布条件概率密度函数图像如图 2 所示：

关于本题所用到的知识点的介绍就到这里结束，下面是具体的做题过程。

由题可知，$\rho =0,$ 因此，$X$ 与 $Y$ 相互独立，根据“随机变量的独立性”中的定理，我们知道，这也就意味着：

$$P\{X,Y\}=P\{X\}P\{Y\}.$$

于是，我们有：

$P\{XY-Y<0\}$ $=$ $P\{Y(X-1)<0\}$ $=$ $P\{Y>0,X-1<0\}$ $+$ $P\{Y<0,X-1>0\}$ $=$ $P\{Y>0,X<1\}+P\{Y<0,X>1\}$ $=$ $P\{Y>0\}P\{X<1\}$ $+$ $P\{Y<0\}P\{X>1\}$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\times$ $\frac{1}{2}$ $+$ $\frac{1}{2}$ $\times$ $\frac{1}{2}$ $=$ $\frac{1}{2}.$

综上可知，本题的正确答案是：$\frac{1}{2}$

EOF

一、题目

设随机变量 $X$ 的概率分布为 $PX=k=\frac{C}{k!},k=0,1,2,\dots .$, 则 $E(X^2)=$__.

二、解析

根据题目中给出的分布函数（概率分布函数）的形式，我们可以知道，这是一个泊松分布。

泊松分布的公式如下：

$PX=k$ $=$ $\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}$, $(k=0,1,2,\dots ).$

于是我们有：

$C$ $=$ ${\lambda }^k{e}^{-\lambda }.$

由于在泊松分布中，$D(X)$ $=$ $E(X)$ $=$ $\lambda .$

而且我们知道 $D(X)$ 和 $E(X)$ 有如下关系：

$D(X)$ $=$ $E(X^2)-E^2(X)$ $\Rightarrow$ $E(X^2)$ $=$ $D(X)$ $+$ $E^2(X)$ $=$ $\lambda$ $+$ ${\lambda }^2.$

因此，只要我们求出 $\lambda$ 的数值，也就是用 $C$ 表示出 $\lambda$ 就可以解出答案。

但是，这个思路是走不通的，一是因为通过 $C={\lambda }^k{e}^{-\lambda }$ 用 $C$ 表示出 $\lambda$ 的计算十分复杂，其二是因为即便能够用 $C$ 表达出 $\lambda$, 那么表达式中也会含有未知变量 $k$.

因此可知，这道题还需要找一些隐含的条件，走另外的解题思路。

既然从源头开始想出来的解题思路有问题，那么我们就倒着想，看看为了计算出最终的结果，我们需要哪些条件。我们可以确定的是，无论采取哪种方法，要想解出 $E(X^2)$, 就必须知道 $D(X)$ 和 $E^2(X)$, 因此（根据泊松分布的特性）我们需要知道 $\lambda$ 的数值，而要知道 $\lambda$ 的数值必然需要通过已知的常数 $C$ 来确定，根据公式，$C$ 与 $\lambda$ 同时出现的情况只在下面这个公式中存在：

$\frac{C}{k!}$ $=$ $\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}.$

但是，上面这个公式中存在一个未知量 $k.$

至此，无论我们接下来采取什么解题思路，一个首要的问题就是要移除未知量 $k$ 这个障碍。

如何移除呢？题目中并没有给出 $k$ 的值，也没有可供解出 $k$ 的关系式。不过，既然要解出 $k$ 就先来想想 $k$ 的含义吧。

在泊松分布的定义中，$X$ 是随机变量，由泊松分布公式中的 “$PX=k$” 我们知道，$k$ 就是用来给 $X$ 赋值的，不同的 $k$ 值对应不同的概率，而 $k$ 的取值范围是 $0,1,2,\dots n.$ 根据概率分布函数的特点我们知道，在一次随机实验中，一定会有一个随机变量发生，如果我们手里有全部的随机变量，那么在任何一次实验中都会有一个随机变量在我们手里发生，从整体上看这就是一个必然事件。

于是，我们知道，如果让 $k$ 取到所有可能取到的值并计算概率，之后把这些概率相加，那么和一定是 $1$, 即：

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}$ $\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}$ $=$ $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}$ $\frac{C}{k!}$ $=$ $C\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}$ $=1.$

这里需要我们知道一个额外的知识点，就是自然常数（自然对数的底数） $e$ 的表示方法。

$e$ 有两种表示方法，如下：

方法一：$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n.$

方法二：$e=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dots \frac{1}{n!}.$

注意：$0!=1.$

于是，我们有：

$C\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}$ $\frac{1}{k!}$ $=$ $Ce$ $=$ $1$ $\Rightarrow C$ $=$ $\frac{1}{e}$ $=$ $e^{-1}.$

又因为 $C$ $=$ ${\lambda }^k{e}^{-\lambda },$ 我们有：

${\lambda }^k{e}^{-\lambda }$ $=$ $e^{-1}.$

于是有：

$\lambda$ $=$ $1$, $k=1.$

到这里就解出 $\lambda$ 的数值了，再结合前面的分析，我们就可以解出 $E(X^2):$

$E(X^2)$ $=$ $\lambda +{\lambda }^2$ $=$ $1$ $+$ $1^2$ $=$ $1$ $+$ $1$ $=$ $2.$

综上可知，本题的正确答案是：$2$

EOF

一、题目

设函数 $f(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上连续，其 $2$ 阶导函数 $f”(x)$ 的图形如图 1 所示，则曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 的拐点的个数为 ( )

( A ) $0$.

( B ) $1$.

( C ) $2$.

( D ) $3$.

二、解析

如图 2 所示，令左边的曲线与 $x$ 轴的交点为点 $x_1$, 坐标原点为点 $x_2$, 右边曲线与 $x$ 轴的交点为点 $x_3$:

由于本题涉及 2 阶导数，因此可以通过拐点存在的充分条件中的第一充分条件来判定：

若曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 在 $x$ $=$ $x_0$ 处 $f”(x_0)$ $=$ $0$ (或 $f”(x_0)$ 不存在，但 $f(x)$ 在 $x$ $=$ $x_0$ 处连续)，若 $f”(x)$ 在 $x_0$ 的左、右两侧邻域内异号，则 $(x_0$, $f(x_0))$ 为曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 的拐点。

我们知道，对于连续函数的图像曲线而言，拐点处的图像曲线要么等于零，要么不存在。图 2 中的 $x_1$, $x_2$, $x_3$ ( $f”(x_2)$ 虽然不存在，但是由题目中给出的“函数 $f(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上连续”的条件我们知道，$f”(x_2)$ 在点 $x_2$ 的左右两侧邻域是连续的，可能是原函数的一个拐点。)三个点均满足该条件。但是点 $x_1$ 两侧的函数都为正($f”(x)$ 的图像在 $x$ 轴上方)，因此，不满足“左右两侧邻域内异号”的条件，因此，点 $x_1$ 不是函数 $f(x)$ 的拐点。点 $x_2$ 和 $x_3$ 两侧邻域的函数图像均异号，因此点 $x_2$ 和 $x_3$ 满足函数拐点存在的充分条件，函数 $f(x)$ 有两个拐点。

综上可知，本题的正确选项是：$C$.

EOF

一、题目

曲线 $y$ $=$ $(x-1)$ $(x-2{)}^2$ $(x-3{)}^3$ $(x-4{)}^4$ 的拐点是 ( )

( A ) $(1,0)$.

( B ) $(2,0)$.

( C ) $(3,0)$.

( D ) $(4,0)$.

二、解析

本题主要涉及求导，曲线的凹凸性，曲线凹凸性的判定，拐点的定义，拐点存在的充分条件这些知识。

曲线凹凸性的定义如下：

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，若对 $I$ 上任意两点 $x_1$, $x_2$, 恒有：

$f(\frac{x_1+x_2}{2})$ $<$ $(>)$ $\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$,

则称曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 在区间 $I$ 上是向凹（凸）的.

曲线凹凸性的判定如下：

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内具有二阶导数，那么：

① 如果在 $(a,b)$ 内 $f”(x)$ $>$ $0$, 则曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是凹的;

② 如果在 $(a,b)$ 内 $f”(x)$ $<$ $0$, 则曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是凸的.

拐点的定义如下：

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 内连续，$x_0$ 是 $I$ 的内点，如果曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 在经过点 $(x_0,$ $f(x_0))$ 时凹凸性发生了改变，则称点 $(x_0,$ $f(x_0))$ 为曲线的拐点.

拐点存在的充分条件如下：

第一充分条件：若曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 在 $x$ $=$ $x_0$ 处 $f”(x_0)$ $=0$ (或 $f”(x_0)$ 不存在，但 $f(x)$ 在 $x$ $=$ $x_0$ 处连续)，若 $f”(x)$ 在 $x_0$ 的左右两侧邻域异号，则 $(x_0,$ $f(x_0))$ 为曲线 $y$ $=$ $f(x)$的拐点.
第二充分条件：设 $f(x)$ 在 $x$ $=$ $x_0$ 的某邻域内有三阶导数，且 $f”(x_0)$ $=$ $0$, $f{”}^{\prime }(x_0)$ $\ne$ $0$, 则 $(x_0,$ $f(x_0))$ 为 $f(x)$ 的拐点.

回到本题。本题的原式是：

$y$ $=$ $(x-1)$ $(x-2{)}^2$ $(x-3{)}^3$ $(x-4{)}^4$.

观察可知，当 $x$ $=$ $1$, $2$, $3$, $4$ 时都可以使 $y$ $=$ $0$, 而我们在找拐点的时候，最重要的就是找到哪个点是大于零的，哪个点是小于零的或者哪个点是等于零的，上面式子的设定从计算上来看可以很快地找到这些特殊点。

求拐点的过程中少不了要计算导数，但是上面的式子太长，求导之后会更长，为了方便计算，尽可能避免出错，我们作如下约定：

令：

$A$ $=$ $(x-1)$;

$B$ $=$ $(x-2{)}^2$;

$C$ $=$ $(x-3{)}^3$;

$D$ $=$ $(x-4{)}^4$.

之后，我们有：

原式 $=$ $y$ $=$ $ABCD$.

于是我们有：

$y^{\prime }$ $=$ $A^{\prime }BCD$ $+$ $A(BCD{)}^{\prime }$;

$y”$ $=$ $A”BCD$ $+$ $A^{\prime }(BCD{)}^{\prime }$ $+$ $A^{\prime }(BCD{)}^{\prime }$ $+$ $A(BCD)”$;

$y{”}^{\prime }$ $=$ $A{”}^{\prime }BCD$ $+$ $A”(BCD{)}^{\prime }$ $+$ $A”(BCD{)}^{\prime }$ $+$ $A^{\prime }(BCD)”$ $+$ $A”(BCD{)}^{\prime }$ $+$ $A^{\prime }BCD”$ $+$ $A^{\prime }(BCD)”$ $+$ $A(BCD){”}^{\prime }$;

令 $y^{\prime }$ $=$ $0$, 则有：

$y^{\prime }(2)$ $=$ $y^{\prime }(3)$ $=$ $y^{\prime }(4)$ $=$ $0$;

$y^{\prime }(1)$ $\ne$ $0$. ($x$ $=$ $1$ 对应 $A$, 但是 $A^{\prime }$ 是一个常数，不受 $x$ 的影响，因此 $x$ $=$ $1$ 不会使 $y^{\prime }$ $=$ $0$, 以下计算过程中的判断与此类似.)

令 $y”$ $=$ $0$, 则有：

$y”(3)$ $=$ $y”(4)$ $=$ $0$;

$y”(1)$ $\ne$ $0$, $y”(2)$ $\ne$ $0$.

令 $y{”}^{\prime }$ $=$ $0$, 则有：

$y{”}^{\prime }(4)$ $=$ $0$;

$y{”}^{\prime }(1)$ $\ne$ $0$, $y{”}^{\prime }(2)$ $\ne$ $0$, $y{”}^{\prime }(3)$ $\ne$ $0$.

通过上面的计算我们知道，$y”(3)$ $=$ $0$ 且 $y{”}^{\prime }(3)$ $\ne$ $0$, 因此，根据拐点存在的充分条件中的第二充分条件，点 $(3,0)$ 是曲线 $y$ 的拐点。

综上可知，本题的正确选项是：C

EOF

一、题目

当 $x$ $\to$ $0$ 时，$f(x)$ $=$ $x$ $-$ $\sin ax$ 与 $g(x)$ $=$ $x^2$ $\ln (1-bx)$ 是等价无穷小，则（）

( A ) $a$ $=$ $1$, $b$ $=$ $-$ $\frac{1}{6}$.

( B ) $a$ $=$ $1$, $b$ $=$ $\frac{1}{6}$.

( C ) $a$ $=$ $-1$, $b$ $=$ $-\frac{1}{6}$.

( D ) $a$ $=$ $-1$, $b$ $=$ $\frac{1}{6}$.

二、解析

由于 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是等价无穷小，因此，根据“无穷小的比较”中关于等价无穷小的定理：

设 $lim$ $\alpha (x)$ $=$ $0$, $lim$ $\beta (x)$ $=$ $0$,
若 $lim$ $\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}$ $=$ $1$, 则 $\alpha (x)$ 与 $\beta (x)$ 是等价无穷小，记为 $\alpha (x)$ $\sim \beta (x)$.

因此，我们有：

$\underset{x\to 0}{lim}$ $\frac{f(x)}{g(x)}$ $=$ $\underset{x\to 0}{lim}$ $\frac{x-\sin ax}{x^2\ln (1-bx)}$ $=$ $1$.

在“常用的等价无穷小”中，同时和 $\sin x$ 与 $x$ 有关的等价无穷小两个，如下：

$\sin x$ $\sim x$;

$x$ $-$ $\sin x$ $\sim$ $\frac{1}{6}{x}^3$.

同时和 $\ln x$ 与 $x$ 有关的等价无穷小也有两个，如下：

$\ln (1+x)$ $\sim x$;

$x$ $-$ $\ln (1+x)$ $\sim$ $\frac{1}{2}{x}^2$.

那么，我们现在需要考虑的问题就是：需要组合使用哪两个等价无穷小化简原式？

这里选择并确定使用哪两个等价无穷小的依据就是题目中给出的“等价无穷小”。也就是说，在对原式进行化简运算的过程中，必须保证分子分母互为等价无穷小，每一步都要遵守这个原则，最后化简出来的结果中分子分母也必须互为等价无穷小，只有这样才可以和原式划等号。

由前面的计算我们知道，原式的分子是：

$x$ $-$ $\sin ax$

原式的分母是：

$x^2$ $\ln (1-bx)$

于是，分子的有效化简形式有以下四种：

$x$ $-$ $\sin ax$ $=$ $x$ $-$ $ax$ (1)

或者：

$x$ $-$ $\sin ax$ $=$ $\sin x$ $-$ $\sin ax$ (2)

或者：

$x$ $-$ $\sin ax$ $=$ $x$ $-$ $[ax$ $-$ $\frac{1}{6}$ $(ax{)}^3]$ $=$ $x$ $-$ $ax$ $+$ $\frac{1}{6}$ $a^3$ $x^3$ (3)

或者：

$x$ $-$ $\sin ax$ $=$ $\frac{1}{6}{x}^3$ $+$ $\sin x$ $-$ $\sin ax$ (4)

分母的有效化简形式有以下两种：

$x^2$ $\ln (1-bx)$ $=$ $x^2$ $(-bx)$ $=$ $-b{x}^3$ (5)