2019年考研数二第14题解析

题目

已知矩阵 $A=\left[\begin{array}{cccc}1& -1& 0& 0\\ -2& 1& -1& 1\\ 3& -2& 2& -1\\ 0& 0& 3& 4\end{array}\right]$ ,$A_{ij}$ 表示$|A|$中$(i,j)$元的代数余子式，则$A_{11}-A_{12}=?$

解法一

本题可以直接算。

这里需要注意的是，余子式部分正负，代数余子式分正负。

此外就是，此类计算题十分容易算错，因此计算过程要极为认真。

因为：

$$|A|=\left|\begin{array}{cccc}1& -1& 0& 0\\ -2& 1& -1& 1\\ 3& -2& 2& -1\\ 0& 0& 3& 4\end{array}\right|$$

所以：

$$A_{11}=(-1{)}^{1+1}\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ -2& 2& -1\\ 0& 3& 4\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ -2& 2& -1\\ 0& 3& 4\end{array}\right|=-3$$

$$A_{12}=(-1{)}^{1+2}\left|\begin{array}{ccc}-2& -1& 1\\ 3& 2& -1\\ 0& 3& 4\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 3& 2& -1\\ 0& 3& 4\end{array}\right|=1$$

因此：

$$A_{11}–A_{12}=-3–1=-4.$$

解法二

本题还可以使用一些技巧计算。

由于：

$$|A|=\left|\begin{array}{cccc}1& -1& 0& 0\\ -2& 1& -1& 1\\ 3& -2& 2& -1\\ 0& 0& 3& 4\end{array}\right|$$

所以：

$$|A|=1\times A_{11}+(-1)\times A_{12}+0\times A_{13}+0\times A_{14}$$

即：

$$A_{11}–A_{12}=|A|.$$

又：

$$|A|=\left|\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ -2& -1& -1& 1\\ 3& 1& 2& -1\\ 0& 0& 3& 4\end{array}\right|=$$

$$\left|\begin{array}{ccc}-1& -1& 1\\ 1& 2& -1\\ 0& 3& 4\end{array}\right|=$$

$$\left|\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 2& -1\\ 0& 3& 4\end{array}\right|=$$

$$\left|\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 2& 0\\ 0& 3& 4\end{array}\right|=$$

$$(-1{)}^{1+2}\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 4\end{array}\right|=-4$$

综上可知，正确答案为：$-4.$

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