题目
已知矩阵 $ A= \begin{bmatrix} 1& -1& 0& 0\\ -2& 1& -1& 1\\ 3& -2& 2& -1\\ 0& 0& 3& 4 \end{bmatrix}$ ,$A_{ij} $ 表示$|A|$中$(i,j)$元的代数余子式，则$A_{11}-A_{12}=?$
解法一
本题可以直接算。
这里需要注意的是，余子式部分正负，代数余子式分正负。
此外就是，此类计算题十分容易算错，因此计算过程要极为认真。
因为：
$$ |A|= \begin{vmatrix} 1& -1& 0& 0\\ -2& 1& -1& 1\\ 3& -2& 2& -1\\ 0& 0& 3& 4 \end{vmatrix} $$
所以：
$$ A_{11}= (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 1& -1& 1\\ -2& 2& -1\\ 0& 3& 4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1& -1& 1\\ -2& 2& -1\\ 0& 3& 4 \end{vmatrix} =-3 $$
$$ A_{12}= (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} -2& -1& 1\\ 3& 2& -1\\ 0& 3& 4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2& 1& -1\\ 3& 2& -1\\ 0& 3& 4 \end{vmatrix} =1 $$
因此：
$$ A_{11} – A_{12} = -3 – 1 = -4.$$
解法二
本题还可以使用一些技巧计算。
由于：
$$ |A|= \begin{vmatrix} 1& -1& 0& 0\\ -2& 1& -1& 1\\ 3& -2& 2& -1\\ 0& 0& 3& 4 \end{vmatrix} $$
所以：
$$ |A|=1 \times A_{11} + (-1) \times A_{12} + 0 \times A_{13} + 0 \times A_{14} $$
即：
$$ A_{11} – A_{12} = |A|. $$
又：
$$ |A|= \begin{vmatrix} 1& 0& 0& 0\\ -2& -1& -1& 1\\ 3& 1& 2& -1\\ 0& 0& 3& 4 \end{vmatrix} = $$
$$ \begin{vmatrix} -1& -1& 1\\ 1& 2& -1\\ 0& 3& 4 \end{vmatrix} = $$
$$ \begin{vmatrix} 0& 1& 0\\ 1& 2& -1\\ 0& 3& 4 \end{vmatrix} = $$
$$ \begin{vmatrix} 0& 1& 0\\ 1& 2& 0\\ 0& 3& 4 \end{vmatrix} = $$
$$ (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 1& 0\\ 0& 4 \end{vmatrix} =-4 $$
综上可知，正确答案为：$-4.$
EOF