2019年考研数二第11题解析

题目

设函数 $f(u)$ 可导，$z$ $=$ $yf(\frac{y^2}{x})$, 则 $2x$ $\frac{\partial z}{\partial x}$ $+$ $y$ $\frac{\partial z}{\partial y}$ $=$ $?$

解析

本题主要考察求偏导和复合函数求导。

$$\frac{\partial z}{\partial x}=$$

$$y[f(\frac{y^2}{x}){]}^{‘}=$$

$$y\cdot f^{‘}(\frac{y^2}{x})\cdot (\frac{y^2}{x}{)}^{‘}=$$

$$y\cdot f^{‘}(\frac{y^2}{x})\cdot y^2\cdot (-1)\frac{1}{x^2}=$$

$$-\frac{y^3}{x^2}{f}^{‘}(\frac{y^2}{x}).$$

$$\frac{\partial z}{\partial y}=$$

$$y^{‘}f(\frac{y^2}{x})+y[f(\frac{y^2}{x}){]}^{‘}=$$

注意：求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 的时候虽然也有 $[f(\frac{y^2}{x}){]}^{‘}$ 这一步，但是前者是对 $x$ 求导，后者是对 $y$ 求导，因此这里不能直接套用前面的计算结果，求偏导的时候要时刻注意现在是对谁求导。

$$f(\frac{y^2}{x})+y\cdot f^{‘}(\frac{y^2}{x})\cdot \frac{1}{x}(y^2{)}^{‘}=$$

$$f(\frac{y^2}{x})+y\cdot f^{‘}(\frac{y^2}{x})\cdot \frac{2y}{x}=$$

$$f(\frac{y^2}{x})+\frac{2y^2}{x}{f}^{‘}(\frac{y^2}{x}).$$

于是：

$$2x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=$$

$$2x[-\frac{y^3}{x^2}{f}^{‘}(\frac{y^2}{x})]+y[f(\frac{y^2}{x})+\frac{2y^2}{x}{f}^{‘}(\frac{y^2}{x})]=$$

$$-\frac{2y^3}{x}{f}^{‘}(\frac{y^2}{x})+yf(\frac{y^2}{x})+\frac{2y^3}{x}{f}^{‘}(\frac{y^2}{x})=$$

$$yf(\frac{y^2}{x}).$$

综上可知，正确答案为：$yf(\frac{y^2}{x}).$

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