2019年考研数二第03题解析

题目

下列反常积分发散的是:

$$
A. \int_{0}^{+\infty} xe^{-x}dx.
$$

$$
B. \int_{0}^{+\infty} xe^{-x^{2}}dx.
$$

$$
C. \int_{0}^{+\infty}\frac{arc
\tan x}{1+x^{2}}dx.
$$

$$
D. \int_{0}^{+\infty}\frac{x}{1+x^{2}}dx.
$$

解析

$A$ 项:

因为:

$$
(e^{-x})^{‘} = -e^{-x}.
$$

所以:

$$
\int_{0}^{+\infty} xe^{-x}dx = (-1) \cdot \int_{0}^{+\infty}xd(e^{-x}) =
$$

接下来可以用分部积分:

$$ -[xe^{-x}|_{0}^{+\infty} – \int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx] = $$

$$ -[xe^{-x}|_{0}^{+\infty} – (-e^{-x}|_{0}^{+\infty})] = $$

$$ -xe^{-x}|_{0}^{+\infty} – e^{-x}|_{0}^{+\infty} = $$

$$
(0-0)-(0-1) = -(-1) = 1.
$$

故 $A$ 项的式子收敛。

注意:这里需要注意的是 $0 \cdot +\infty = 0 \cdot -\infty = 0$, 也就是说,$0$ 乘以任何数都得 $0$, $0$ 乘以(正负)无穷大也是得 $0$ 的。我们知道,在讨论极限的时候说 $0 \cdot \infty$ 是未定式,也就是不知道这个式子等于多少,还需要其他条件才能确定。但是,那是在变量趋于 $0$ 和变量趋于 $\infty$ 的时候,这里要注意,“趋于”和“等于”是有区别的。“趋于”带有不确定性,“等于”是确定性的,在等于的情况下,必有 $0 \cdot +\infty = 0 \cdot -\infty = 0$.

$B$ 项:

$B$ 项和 $A$ 项的式子很像,似乎也可以用分部积分法,但是,用分部积分法的时候要注意,构造出来的式子必须能比较容易找到原函数,如果不能很容易地找到原函数,就不要用分部积分。例如,当我们按照分部积分的思路,令:

$$
\int_{0}^{+\infty} xe^{-x^{2}}dx =
$$

$$
-\frac{1}{2} \int_{0}^{+\infty} x d(e^{-x^{2}}) =
$$

$$ -\frac{1}{2}[x e^{-x^{2}}|_{0}^{+\infty} – \int_{0}^{+\infty}e^{-x^{2}}dx]. $$

这时就会发现,在对 $x$ 进行积分的情况下,找 $\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}$ 的原函数是比较困难的。因此,$B$ 项不适合用分部积分。

由于,在对 $t$ 积分的等情况下,找 $e^{t}$ 的原函数是比较容易的,因此,我们需要往该形式上凑:

$$
\int_{0}^{+\infty} xe^{-x^{2}} =
$$

$$
\frac{1}{2}\int_{0}^{+\infty}e^{-x^{2}}d(x^{2}) =
$$

$$
\frac{1}{2}[-e^{-x^{2}}|_{0}^{+\infty}] = \frac{1}{2}[0-(-1)] = \frac{1}{2}.
$$

故 $B$ 项的式子收敛。

$C$ 项:

解本项主要用到一个凑微分的思想:

$$
\int \frac{f(arc \tan x)}{1+x^{2}} dx = \int f(arc \tan x) d(arc\tan x)
$$

另外用到的一个公式就是下面这个求导公式:

$$
(arc \tan x)^{‘} = \frac{1}{1+x^{2}}.
$$

于是:

$$
\int_{0}^{+\infty}\frac{arc \tan x}{1+x^{2}}dx = \int_{0}^{+\infty}arc \tan xd(arc \tan x) =
$$

上式形如:

$$
\int \triangle = \frac{1}{2}\triangle^{2} + C.
$$

因此有:

$$
\frac{1}{2}arc \tan ^{2} x |_{0}^{+\infty}=
$$

$$
\frac{1}{2} (\frac{\pi}{2})^{2} – 0 = \frac{\pi ^{2}}{8}.
$$

故 $C$ 项的式子收敛。

$D$ 项:

因为:

$$
(1+x^{2})^{‘} = 2x.
$$

所以:

$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{x}{1+x^{2}}
dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2}} d(1+x^{2}) =
$$

又已知 $\int \frac{1}{t} dt = \ln |t| + C$ 且 $1+x^{2}>0$, 所以有:

$$
\frac{1}{2} \ln (1+x^{2}) |_{0}^{+\infty} = \frac{1}{2}(+\infty – 0) = \frac{+\infty}{2} = +\infty.
$$

故 $D$ 项的式子发散。

综上可知,正确选项为 $D$.

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