2019年考研数二第12题解析

题目

曲线 $y=\ln \cos x(0⩽x⩽\frac{\pi }{6})$ 的弧长为 $?$

解析

本题主要用到的就是平面曲线弧长的三个计算公式中的其中一个：

若曲线 $L:y=f(x),a⩽x⩽b$, 则该曲线在区间 $[a,b]$ 上的弧长 $l={\int }_a^b\sqrt{1+f^{‘2}(x)}dx.$

解题过程如下：

设弧长为 $l$, 则：

$$l={\int }_0^{\frac{\pi }{6}}\sqrt{1+y^{‘2}}dx=$$

又：

$$y^{‘}=\frac{-\sin x}{\cos x}$$

所以：

$$y^{‘2}=\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}$$

所以：

$$1+y^{‘2}=\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$$

因此：

$$l={\int }_0^{\frac{\pi }{6}}\frac{1}{\cos x}={\int }_0^{\frac{\pi }{6}}\sec x=\ln (\sec x+\tan x){|}_0^{\frac{\pi }{6}}$$

又：

$$\sec \frac{\pi }{6}+\tan \frac{\pi }{6}=\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}.$$

$$\sec 0+\tan 0=1+0=1.$$

所以：

$$l=\ln \sqrt{3}–\ln 1=\ln \sqrt{3}=\ln 3^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\ln \sqrt{3}.$$

综上可知，正确答案为：$\frac{1}{2}\ln \sqrt{3}.$

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