2019年考研数二第12题解析

题目

曲线 $y=\ln \cos x (0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{6})$ 的弧长为 $?$

解析

本题主要用到的就是平面曲线弧长的三个计算公式中的其中一个:

若曲线 $L: y=f(x), a \leqslant x \leqslant b$, 则该曲线在区间 $[a ,b]$ 上的弧长 $l=\int_{a}^{b} \sqrt{1+f^{‘2}(x)}dx.$

解题过程如下:

设弧长为 $l$, 则:

$$
l = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sqrt{1+y^{‘2}}dx=
$$

又:

$$
y^{‘} = \frac{-\sin x}{\cos x}
$$

所以:

$$
y^{‘2} = \frac{\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}
$$

所以:

$$
1+y^{‘2} = \frac{\cos ^{2}x + \sin ^{2}x}{\cos ^{2}x} = \frac{1}{\cos^{2}x}
$$

因此:

$$
l = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{\cos x}=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sec x = \ln (\sec x + \tan x) |_{0}^{\frac{\pi}{6}}
$$

又:

$$
\sec \frac{\pi}{6} + \tan \frac{\pi}{6} = \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}.
$$

$$
\sec 0 + \tan 0 = 1+0=1.
$$

所以:

$$
l=\ln \sqrt{3} – \ln 1 = \ln \sqrt{3} = \ln 3^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln \sqrt{3}.
$$

综上可知,正确答案为:$\frac{1}{2} \ln \sqrt{3}.$

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