2019年考研数二第02题解析

题目

曲线 $y = x \sin x + 2 \cos x, (-\frac{\pi}{2} < x < 2 \pi)$ 的拐点是 ?

解析

拐点产生于凹凸性的改变, 因此, 找拐点就是找函数凹凸性发生改变的位置.

函数的凹凸性可以使用该函数的二阶导函数的正负进行判断.至于为什么可以这样判断, 可以使用如下的例子辅助记忆:

• $y = x^{2}$ 是一个凹函数;
• $y^{‘} = 2x$ 是一个在 $(- \infty, 0)$ 区间内为负, 在 $(0, + \infty)$ 区间内为正的函数;
• $y^{”} = 2$ 是一个恒正的函数.

由上可知, 当 $y^{”} > 0$ 时, $y$ 为凹函数, 推广知, 当 $y^{”} < 0$ 时, $y$ 为凸函数.

因此, 先求出二阶导函数:

$$y^{‘} = \sin x + x \cos x – 2 \sin x.$$

$$y^{”} = \cos x + \cos x – x \sin x – 2 \cos x = -x \sin x.$$

为了确定二阶导函数正负函数值所对应的区间,首先应该确定二阶导函数函数值为 $0$ 的点, 因此, 令:

$$y^{”} = 0,$$

则:

$$x = 0;$$

或者:

$$x = \pi.$$

由此, 再加上题中给出的区间条件, 可以把要讨论的区间分成三部分, 分别是:

$$(-\frac{\pi}{2}, 0);$$

$$(0, \pi);$$

$$(\pi, 2 \pi).$$

其中:

在 $(-\frac{\pi}{2}, 0);$ 内:

$$-x > 0$$

$$\sin x < 0;$$

因此:

$$y^{”} < 0.$$

同理可知:

在 $(0, \pi)$ 内, $y^{”} < 0;$

在 $(\pi, 2 \pi)$ 内, $y^{”} > 0.$

由上可知, $y^{”}$ 的正负在 $x = \pi$ 两侧发生改变, 因此, $y$ 的拐点必然在 $x = \pi$ 这条线上.

将 $x = \pi$ 带入 $y = x \sin x + 2 \cos x$ 可得:

$$y = -2;$$

因此, $y$ 的拐点为:

$$(\pi, -2).$$

正确答案为: $B.$

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