2019年考研数二第10题解析

题目

曲线 ${\begin{matrix} x = t - \sin t, \\ y = 1 - \cos t \end{matrix}$ 在 $t = \frac{3 π}{2}$ 对应点处的切线在 $y$ 轴上的截距为 $?$ .

要求切线在 $y$ 轴上的截距，首先要求出这个切线，而要求出切线，由于已知了切线上的一个点，所以可以用点斜式求切线。

将 $t = \frac{3 π}{2}$ 带入参数方程得出对应点处的坐标为：

$(\frac{3 π}{2} + 1, 1)$

设该点处切线的斜率为 $k$ , 则：

$k = \frac{d y}{d x} |_{\frac{3 π}{2}} =$

$\frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}} |_{\frac{3 π}{2}} =$

$\frac{\sin t}{1 - \cos t} |_{\frac{3 π}{2}} =$

$\frac{\sin \frac{3 π}{2}}{1 - \cos \frac{3 π}{2}} =$

$\frac{- 1}{1 - 0} = - 1$

则由点斜式 $y - b = k (x - a)$ 得，该切线的方程为：

$y - 1 = (- 1) (x - \frac{3 π}{2} - 1)$

由于要求得是该切线在 $y$ 轴上的截距，因此，令 $x = 0$ , 则：

$y = - (- \frac{3 π}{2} - 1) + 1 = \frac{3 π}{2} + 2.$

综上可知，正确答案为： $\frac{3 π}{2} + 2$ .

本题中算出来的直线截距是正数，其实截距可以是正数，也可以是负数以及 $0$ .

直线的截距就是该直线在横坐标或者纵坐标（假设只考虑平面直角坐标系）上的坐标值，这个值是多少，相应的截距就是多少。

令 $y = 0$ 可求横坐标 ( $x$ 轴) 截距，令 $x = 0$ 可求纵坐标 ( $y$ 轴) 截距。

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