2019年考研数二第10题解析

题目

曲线 $\left\{\begin{matrix} x = t – \sin t,\\ y = 1 – \cos t \end{matrix}\right.$ 在 $t = \frac{3 \pi}{2}$ 对应点处的切线在 $y$ 轴上的截距为 $?$.

解析

要求切线在 $y$ 轴上的截距,首先要求出这个切线,而要求出切线,由于已知了切线上的一个点,所以可以用点斜式求切线。

将 $t = \frac{3 \pi}{2}$ 带入参数方程得出对应点处的坐标为:

$$
(\frac{3 \pi}{2}+1, 1)
$$

设该点处切线的斜率为 $k$, 则:

$$
k = \frac{dy}{dx} |_{\frac{3 \pi}{2}} =
$$

$$
\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}|_{\frac{3 \pi}{2}}=
$$

$$
\frac{\sin t}{1 – \cos t}|_{\frac{3 \pi}{2}}=
$$

$$
\frac{\sin \frac{3 \pi}{2}}{1 – \cos \frac{3 \pi}{2}} =
$$

$$
\frac{-1}{1-0}=-1
$$

则由点斜式 $y – b = k(x – a)$ 得,该切线的方程为:

$$
y – 1 = (-1)(x – \frac{3 \pi}{2} – 1)
$$

由于要求得是该切线在 $y$ 轴上的截距,因此,令 $x=0$, 则:

$$
y = -(-\frac{3 \pi}{2}-1) + 1 = \frac{3 \pi}{2} + 2.
$$

综上可知,正确答案为:$\frac{3 \pi}{2} + 2$.

注意

本题中算出来的直线截距是正数,其实截距可以是正数,也可以是负数以及 $0$.

直线的截距就是该直线在横坐标或者纵坐标(假设只考虑平面直角坐标系)上的坐标值,这个值是多少,相应的截距就是多少。

令 $y=0$ 可求横坐标 ($x$ 轴) 截距,令 $x=0$ 可求纵坐标 ($y$ 轴) 截距。

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