荒原之梦，作者荒原之梦

三角函数的三倍角公式

一、前言

三角函数的二倍角公式（ $\sin 2 x$ , $\cos 2 x$ , $\tan 2 x$ , $\cot 2 x$ ）很常用，三角函数的三倍角公式在求解一些题目的时候，也是一个非常有用的工具。在本文中，「荒原之梦考研数学」将给同学们整理出一份常用的三角函数三倍角公式。

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每日箴言：不拖延是一种优秀的能力

尽快完成要做的事，而不是拖延和内耗，可以让我们每天都更有效率，减少无用功就是在做有用功。

2024 年 09 月 19 日

每日箴言：每天一句话，为梦想加油！
专属福利：全部加入 考研数学思维导图 VIP 的同学都将在年底免费获赠《荒原之梦 2025 年度每日箴言合集》电子版一份。

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描述：NASA 的毅力号火星车正在火星杰泽罗（Jezero）陨石坑的边缘向外爬升，这张图象由毅力号搭载的一个导航相机拍摄。毅力号在 2024 年 08 月 22 日、25 日和 26 日期间行驶了约 160 米的距离，爬升了约 35 米的高度。
Credit: NASA/JPL-Caltech

平方运算不会改变大于或等于 $0$ 的数字间的大小关系

一、题目

请证明下面这个数列 ${x_{n}}$ 的极限存在，并求解其极限：

$\sqrt{2}, \sqrt{2 + \sqrt{2}}, \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}, \dots$

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每日箴言：在没有风的日子里，起舞仍然有意义

没有风的时候，裙摆不会摇曳，树叶不会鼓掌，大地一片寂静。但是，没有风的时候，起舞仍然具有意义，这是一种默不作声的礼赞，沉静且非凡，当风到来的时候，将变得轻盈又绚烂。

2024 年 09 月 18 日

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描述：位于美国加利福尼亚州巴斯托附近的 Goldstone 太阳系雷达（该雷达属于深空探测网络的一部分）于 2024 年 09 月 16 日发现了这颗编号为 2024 ON 的花生形状的小行星，这颗小行星长约 350 米，在被发现的一天后从距离地球约 100 万公里处掠过，这个距离大约是月球与地球之间距离的 2.6 倍。
Credit: NASA/JPL-Caltech

乘法运算中的矩阵一般不可以“自由流动”，但单位矩阵可以

一、题目

已知 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶矩阵，且：

$A B = E$

则：

$A [E - A {(E + A^{⊤} B^{⊤})}^{- 1} B] B = ?$

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每日箴言：比高山更高的山，比深海更深的海

地球的山峦湖海，已经非常壮丽，这使得我们常常会忘记，宇宙之中，还存在比我们此生见到山更高的山，以及比我们此生见到的海更深的海——在宇宙的某一隅，还有绵延数万公里的冰晶山，滚烫沸腾的岩浆海，甚至席卷半个星球的风暴。

2024 年 09 月 17 日

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描述：这是一幅艺术想象图，描绘了正在围绕木星运行的 NASA 欧罗巴快艇（Europa Clipper）号航天器，和与欧罗巴快艇号擦身而过的被冰雪覆盖的木星的卫星欧罗巴（Europa）。
Credit: NASA/JPL-Caltech

乘以自己还和自己相等的矩阵就是在单位矩阵框架内秩互补的矩阵

一、题目

是 $n$ 阶方阵，且满足：

$A^{2} = A$

请证明：

$r (A) + r (A - E) = n$

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每日箴言：时空交错之间，万物生长变换

驱动世界运行的动力，或许不是炙热的阳光，而是令我们捉摸不透的时间，只要时间掠过，便不存在绝对的静止，万物都在不断的振动中，产生和变化。

2024 年 09 月 16 日

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描述：这是一幅艺术想象图，描绘了 NASA 的欧罗巴快艇号（Europa Clipper）航天器接近木星及其冰冷的卫星欧罗巴。欧罗巴快艇号计划于 2030 年 04 月抵达木星。
Credit: NASA/JPL-Caltech

关于由 $A B$ $=$ $O$ 可得 $r (A)$ $+$ $r (B)$ $⩽$ $n$ 的一个简单证明方式

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们证明下面这个公式：

$\begin{aligned} A B = O \\ \Leftrightarrow & r (A) + r (B) ⩽ n \end{aligned}$

其中，矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 都是 $n \times n$ 阶方阵。

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每日箴言：时光从来不曾带走什么

荒原之梦考研数学 | 每日箴言 | 图片来自：André Karwath aka Aka

时光的烙印让岁月看似变得斑驳，但这烙印蚀刻出的纹理，却让未来照进了现实。所以，时光从来不曾带走什么，因为这里的一切，都是时光的馈赠。

2024 年 09 月 15 日

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描述：德国布莱肯汉因宫露天博物馆中的一辆近代蒸汽汽车。
作者：André Karwath aka Aka
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拍摄时间（当地时间）：2005 年 04 月 30 日
相机坐标：未知
来源：wikipedia.org

升级版的点火公式

一、题目

$K_{m} = \int_{0}^{π} x \sin^{m} x d x = ?$

其中， $m$ 为自然数。

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每日箴言：每一种旺盛，都是对生命的致敬

繁茂的树叶、鲜艳的花朵、凌冽的风、洁白的云、掷地有声的土地和水击石穿的流水，每一种旺盛与活力，都是对生命的崇高致意和庄重回响。

2024 年 09 月 14 日

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描述：产自墨西哥的一种可食用的刺梨仙人掌果实。
作者：Tomás Castelazo
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拍摄时间（当地时间）：2006 年 07 月
相机坐标：未知
来源：wikipedia.org

对式子的等价转换除了有先加后减，还有先开方再平方

一、题目

$I = \int_{2}^{+ \infty} \frac{1}{x \sqrt{x - 1}} d x = ?$

难度评级：

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每日箴言：我们每一天都在“盗用”昨天的身份

今天的自己所拥有的身份与物质财产，全部都来自昨天的那个“你”——所以，在我们憧憬明天的那个“他/她”的时候，也不要忘记给昨天的“你”一次致敬的回眸。

2024 年 09 月 13 日

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描述：从滨湖阿尔卑斯山上眺望雾中的瑞士楚格湖。
作者：Simon Koopmann
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 2.5 通用许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2006 年 12 月 30 日 14 时 14 分
相机坐标：东经 8° 27′ 29″, 北纬 47° 03′ 47″
来源：wikipedia.org

关于 $r (A)$ $+$ $r (E$ $-$ $A)$ $⩾$ $r (E)$ 的一个简单证明

一、前言

在考研数学的线性代数科目中，我们有时候会遇到要使用下面这个公式的题目：

$r (A) + r (E - A) ⩾ r (E)$

事实上，往年的考研数学真题中也曾出现过要用该性质的题目。但是，同学们在使用这个性质的时候，可能会对上面这个不等式为什么成立产生疑问，在文本中，「荒原之梦考研数学」就给出一种简单的证明方式，帮助同学们解除疑惑。

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