2013年考研数二第02题解析

题目

设函数 $y = f(x)$ 是由方程 $\cos(xy) + \ln y – x = 1$ 确定,则 $\lim_{n \rightarrow \infty} [f(\frac{2}{n}) – 1] = ?$

$$
A. 2
$$

$$
B. 1
$$

$$
C. -1
$$

$$
D. -2
$$

解析

本题是关于隐函数的,涉及【隐函数】的题目一般都【需要】进行【求导】,这是这类题目解题思路上的一个突破口。

由于,当 $n \rightarrow \infty$ 时,有:

$$
\frac{2}{n} \rightarrow 0.
$$

则在 $x \rightarrow 0$ 的情况下,通过式子 $\cos(xy) + \ln y – x = 1$ 求出来的 $y$ 的取值就是 $\frac{2}{n} \rightarrow 0$ 的情况下,$f(\frac{2}{n})$ 的取值,也是 $f(0)$ 的取值。

将 $x = 0$ 带入 $\cos(xy) + \ln y – x = 1$, 得:

$$
1 + \ln y = 1 \Rightarrow
$$

$$
\ln y = 0 \Rightarrow y = 1.
$$

即:

$$
f(\frac{2}{n}) = f(0) = 1.
$$

又知函数在点 $x=x_{0}$ 处的导数的定义公式为:

$$
f^{‘}(x_{0}) = \lim_{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x) – f(x_{0})}{x – x_{0}}.
$$

于是:

$$
f^{‘}(0) = \lim_{\frac{2}{n} \rightarrow 0} \frac{f(\frac{2}{n}) – f(0)}{\frac{2}{n}} \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{2} \lim_{\frac{2}{n} \rightarrow 0} n [f(\frac{2}{n}) – f(0)].
$$

因此,我们只需要求出 $f^{‘}(0)$ 即可算出答案。

在式子 $\cos(xy) + \ln y – x = 1$ 两边同时对 $x$ 求导,得:

$$
-\sin (xy) (y + x \frac{dy}{dx}) + \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} – 1 = 0 \Rightarrow
$$

把 $x=0$, $y=1$ 带入上式,得:

注意:由于我们要的是 $f^{‘}(0)$ 而不是 $f^{‘}(x)$, 因此,这里可以先代入数值,能求出 $f^{‘}(0)$ 即可,这样可以简化运算。

$$
\frac{dy}{dx} – 1= 0 \Rightarrow
$$

$$
\frac{dy}{dx} = 1.
$$

即:

$$
f^{‘}(0) = 1.
$$

即:

$$
\frac{1}{2} \lim_{\frac{2}{n} \rightarrow 0} n [f(\frac{2}{n}) – f(0)] = 1.
$$

于是:

$$
\lim_{\frac{2}{n} \rightarrow 0} n [f(\frac{2}{n}) – f(0)] = 2 \Rightarrow
$$

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} n [f(\frac{2}{n}) – 1] = 2.
$$

综上可知,正确选项为 $A$.

EOF


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