题目
函数 $f(x) = \lim_{t \rightarrow 0}(1+\frac{\sin t}{x})^{\frac{x^{2}}{t}}$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 内 $?$
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A. 连续
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B. 有可去间断点
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C. 有跳跃间断点
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D. 有无穷间断点
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解析
函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 这一点处没有定义，因此，如果 $f(x)$ 存在间断点，那么一定是在 $x=0$ 处产生。于是，我们可以对 $f(x)$ 分别在 $0$ 的左右两侧求极限，根据极限值判断该点处的情况。
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\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) =
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\lim_{t \rightarrow 0, x \rightarrow 0^{+}} (1+\frac{x}{x})^{|x|} =
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(1+1)^{0} = 1.
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\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) =
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\lim_{t \rightarrow 0, x \rightarrow 0^{-}}(1+\frac{-x}{x})^{|x|} =
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(1-1)^{0} = 0^{0} = 1.
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注意：在高等数学中，可以认为 $0^{0} = 1$,
$\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x)$, 但 $x \neq 0$, 因此，$f(x)$ 在 $x=0$ 处存在可去间断点。
综上可知，正确选项为 $B$.
EOF