2018年考研数二第01题解析

题目

若 $\lim_{x \rightarrow 0} (e^{x} + ax^{2} + bx)^{\frac{1}{x^{2}}} = 1$, 则 $?$

$$A. a = \frac{1}{2}, b = -1$$

$$B. a = – \frac{1}{2}, b = -1$$

$$C. a = \frac{1}{2}, b = 1$$

$$D. a = – \frac{1}{2}, b = 1$$

解析

由于当 $x \rightarrow 0$ 时,$e^{x} + ax^{2} + bx \rightarrow 0$ 且 $\frac{1}{x^{2}} \rightarrow \infty$, 符合 $1^{\infty}$ 的形式,因此,可能会用到下面这个公式:

$$
\lim_{x \rightarrow 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{x})^{x} = e.
$$

于是,我们就要往上面的公式的形式上凑。

$$
\lim_{x \rightarrow 0} (e^{x} + ax^{2} + bx)^{\frac{1}{x^{2}}} = 1 \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} [ (1+ e^{x} + ax^{2} +bx -1) ^\frac{1}{e^{x} + ax^{2} +bx -1}]^{\frac{e^{x} + ax^{2} +bx -1}{x^{2}}} = 1 \Rightarrow
$$

$$
e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} + ax^{2} +bx -1}{x^{2}}} = 1 \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} + ax^{2} +bx -1}{x^{2}} =0 \Rightarrow 洛必达 \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} + 2ax + b}{2x} = 0 \Rightarrow 洛必达 \Rightarrow ①
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} + 2a}{2} = 0
$$

由于“ $0$ 除以 ($0$ 做除数) 任何不是 $0$ 的数都得 $0$ ”, 因此:

$$e^{x} + 2a = 0$$

又 $x \rightarrow 0$, 所以有:

$$
1 + 2a = 0.
$$

即:

$$
a = – \frac{1}{2}
$$

把 $a = – \frac{1}{2}$ 代入 $①$ 式得:

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} – x + b}{2x} = 0 \Rightarrow
$$

$$
\frac{1-0+b}{0}=0 \Rightarrow
$$

$$
\frac{1+b}{0}=0 ②
$$

如果 $1+b \neq 0$, 则 $②$ 式违背了数学基本原理,因此,必须构成 $\frac{0}{0}$ 极限未定式才可以,于是有:

$$
1+b=0
$$

即:

$$
b=-1
$$

综上可知,$a=-\frac{1}{2}, b=-1$, 正确选项为 $B$.

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