2008 年研究生入学考试数学一选择题第 4 题解析

题目

设函数在 f(x)(- \infty, + \infty) 内单调有界,\{x_{n}\} 为数列,下列命题正确的是 ( )

( A ) 若 \{x_{n}\} 收敛,则 \{f(x_{n})\} 收敛.

( B ) 若 \{x_{n}\} 单调,则 \{f(x_{n})\} 收敛.

( C ) 若 \{f(x_{n})\} 收敛,则 \{x_{n}\} 收敛.

( D ) 若 \{f(x_{n})\} 单调,则 \{x_{n}\} 收敛.

解析

解答本题之前,我们需要清楚“极限”,“收敛”和“有界”三者之间的区别与联系。

当我们说“极限”时,我们通常说的是“函数极限”,当我们说“收敛”时,我们通常说的是“数列收敛”。说“数列收敛”就是说该数列存在极限。我们可以认为,“收敛”是用于描述离散数据的,“极限”是用于描述连续数据的。当我们在计算或者证明数列极限的时候,我们其实是将数列看作了“连续数据”来对待。

如果一个数列收敛,那么这个数列必然有界,但是如果一个数列有界却不一定收敛,例如下面这个数列有界,但不收敛:

\{1,-1,1,-1,1,-1\}.

对于函数也一样,例如 y=\sin x 是一个有界函数,但不收敛。

只有单调并且有界的数列才一定收敛(也意味着该数列一定有极限),这就是数列极限的“单调有界原理”。

注:当“单调有界原理”用在数列上时可以证明数列有界;当单调有界原理用在函数上时只能证明函数有确界,即有上确界或者下确界。

此外,本题还涉及复合函数,因此还必须清楚复合函数的几个性质:

  • 复合函数的单调性

单调性包含单调递增和单调递减。对于复合函数而言,如果外函数和内函数都是单调函数,则在定义域内,它们的复合函数也是单调函数。至于是单调增还是单调减,可以用“同增异减”来判定。

“同增异减”的含义就是,如果外层函数是增函数,则复合函数的增减性与内函数的增减性一致;

如果外层函数为减函数,则复合函数的增减性与内函数的增减性相反。

“同增异减”也可以理解成,如果复合前两个函数都为增函数或者都为减函数,则复合函数为增函数;如果复合前两个函数一个为增函数,一个为减函数,则复合函数为减函数。

注:无论是单增还是单减,只要内函数和外函数都是单调函数,则复合函数也一定是单调函数。

  • 复合函数的奇偶性

① 如果内函数为奇函数,则复合函数的奇偶性与外函数的奇偶性保持一致;

② 如果内函数为偶函数,则复合函数必为偶函数。

  • 复合函数的周期性

① 若内函数为周期函数,则复合函数一定也是周期函数;

② 若外函数为周期函数,则复合函数不一定为周期函数。

  • 复合函数的有界性

① 若内函数有界且外函数有界,则复合函数一定有界;

② 若内函数无界但外函数有界,则复合函数一定有界;

(上述两条总结一下就是,无论内函数是否有界,只要外函数有界,则复合函数一定有界。)

③ 若内函数有界但外函数无界或者内外函数都无界,这种情况下不能确定或者否定复合函数是有界还是无界,如果要确定或否定,还需要其他条件辅助分析。

有上面的阐述,我们可以发现,在判断复合函数的性质的时候,第一步要做的事情就是区分出内函数和外函数。本题在内外函数的区分上可能具有一定的迷惑性,我们不能认为在复合函数 “\{f(x_{n})\}” 中,”\{x_{n}\}” 是外函数而 “f(x)” 是内函数,这是错误的。符号 “\{” 和 “\}” 只是说明这是一个数列,而并不是一个运算符号,其意义是多个 “f(x_{n})” 的值组成的数列,因此外函数是 “f(x)“, 内函数是 “x_{n}.”

下面是针对每个选项的具体分析:

A 项:

\{x_{n}\} 收敛 → \{x_{n}\} 有界;

f(x) 有界 + \{x_{n}\} 有界 → \{f(x_{n})\} 有界;

但是数列有界不能直接推出数列收敛,必须是单调且有界的数列才能推出收敛的结论。

A 项错误。

B 项:

\{x_{n}\} 单调 + f(x_{n}) 单调 → \{f(x_{n})\} 单调;

f(x_{n}) 有界 → \{f(x_{n})\} 有界;

\{f(x_{n})\}单调有界 → \{f(x_{n})\} 收敛。

B 项正确。

C 项:

由复合函数收敛不能确定其内函数是否也收敛。

C 项错误。

D 项:

f(x_{n}) 有界 → \{f(x_{n})\} 有界;

\{f(x_{n})\}单调有界 → \{f(x_{n})\} 收敛;

但是 \{f(x_{n})\} 收敛推不出内函数 \{x_{n}\} 也收敛,和 C 项原因一致。

D 项错误。

综上可知,正确选项是:B

EOF