[高等数学]解析一道关于函数极限的概念考察题(001)

题目

下列命题中正确的是()

( A ) 若 [latex]\lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)[/latex], 则 [latex]\exists \varepsilon > 0[/latex], 当 [latex]0<|x-x_{0}|<\varepsilon[/latex] 时,[latex]f(x) \geqslant g(x)[/latex].

( B ) 若 [latex]\exists \varepsilon>0[/latex], 当 [latex]0<|x-x_{0}|< \varepsilon [/latex] 时,[latex]f(x)>g(x)[/latex], 且 [latex]\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A_{0}, \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)=B_{0}[/latex], 则 [latex]A_{0}>B_{0}[/latex].

( C ) 若 [latex]\exists \varepsilon>0[/latex], 当 [latex]0<|x-x_{0}|<\varepsilon[/latex] 时,[latex]f(x)>g(x)[/latex], 则 [latex]\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) \geqslant \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)[/latex].

( D ) 若 [latex]\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)>\lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)[/latex], 则 [latex]\exists \varepsilon>0[/latex], 当 [latex]0<|x-x_{0}|<\varepsilon[/latex] 时,[latex]f(x)>g(x)[/latex].

解析

概念考察题是考研数学中一类比较难的题,这类题的难点在于除了紧抠概念之外,解答者没有多少可以自由发挥的空间。而且,概念考察题考察的都是概念的细微之处,一不留神就可能审错题。

从本题的四个选项可以看出,本题考查的着重点在函数极限这一部分。更细致的来看,本题考查了函数极限的定义中当 [latex]x \rightarrow x_{0}[/latex] 时的极限的定义,如下:

已知 [latex]\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A[/latex]

任给 [latex]\varepsilon >0[/latex], 存在正数 [latex]\delta[/latex], 当 [latex]0<x-x_{0}<\delta[/latex] 时,就有 [latex]|f(x)-A|<\varepsilon[/latex].

注:上面这个定义说的通俗一点就是,当 [latex]x[/latex] 与 [latex]x_{0}[/latex] 足够接近的时候,[latex]f(x)[/latex] 与 [latex]f(x)[/latex] 的极限 [latex]A[/latex] 也足够接近。

本题还考察了函数极限的性质中的“保号性”,如下:

设 [latex]\lim f(x)=A>0[/latex], 则在极限管辖的范围内,[latex]f(x)>0(f(x)>\frac{A}{2})[/latex].

反之,[latex]f(x)>0[/latex] 且 [latex]\lim f(x)=A \Rightarrow A \geqslant 0[/latex].

注:当 [latex]x \rightarrow x_{0}[/latex] 时,“极限管辖的范围”指的就是 [latex]x_{0}[/latex] 的去心邻域;当 [latex]x \rightarrow \infty[/latex] 时,“极限管辖的范围”指的就是无穷远处。

对于函数极限的性质中的保号性,我们需要明确以下几点:

  • 解答保号性问题的大前提是“涉及到的函数的极限均存在”,这也是解决所有涉及极限的问题的大前提:要研究和利用极限,则极限必须存在;
  • 保号性都是局部保号性,即只有在极限管辖的范围内才存在保号性;
  • 由极限大于 [latex]0[/latex] 可以推出函数大于 [latex]0[/latex], 不能推出函数等于 [latex]0[/latex] 或者函数小于 [latex]0[/latex]. 由函数大于 [latex]0[/latex] 可以推出极限大于 [latex]0[/latex] 或者极限等于 [latex]0[/latex], 而且在不确定极限究竟是只大于 [latex]0[/latex] 还是只小于 [latex]0[/latex] 的情况下,要写成极限大于等于 [latex]0[/latex] 的形式。

以下是对本题中每一个选项的分析。

A 选项

该选项给出了:

[latex]\lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)[/latex]

这说明 [latex]f(x)[/latex] 和 [latex]g(x)[/latex] 的极限都存在(满足了研究极限问题的大前提,条件可用,可以继续接下来的思考步骤)且 [latex]f(x)[/latex] 的极限大于等于 [latex]f(x)[/latex] 的极限。

于是,我们有:

[latex]\lim_{x \rightarrow x_{0}}(f(x)-g(x)) \geqslant 0[/latex]

接下来选项给出了:

若 [latex]\exists \varepsilon > 0[/latex], 当 [latex]0<|x-x_{0}|<\varepsilon[/latex] 时

这说明我们是要在“函数极限的管辖范围内”讨论这个选项的说法,具备使用保号性的前提,条件可用,可以继续接下来的思考步骤。

该选项接下来指出,由上面的条件可以推出 [latex]f(x) \geqslant g(x)[/latex].

这个结论是不对的。原因如下:

若函数 [latex]f(x)[/latex] 的极限 [latex]A >0[/latex], 则可以推出函数 [latex]f(x)>0[/latex];

若函数 [latex]f(x)[/latex] 的极限 [latex]A<0[/latex], 则可以推出函数 [latex]f(x)<0[/latex];

若函数 [latex]f(x)[/latex] 的极限 [latex]A=0[/latex], 则不能确定函数 [latex]f(x)[/latex] 是大于 [latex]0[/latex], 小于 [latex]0[/latex] 还是等于 [latex]0[/latex]. 原因是,如果 [latex]A=0[/latex] 我们不知道函数 [latex]f(x)[/latex] 是在大于 [latex]0[/latex] 的方向上趋近于极限 [latex]A[/latex], 还是在小于 [latex]0[/latex] 的方向上趋近于极限 [latex]A[/latex], 抑或 [latex]f(x)=0[/latex].

如图 1 所示,当函数的极限等于 [latex]0[/latex] 时,函数可能是大于 [latex]0[/latex] 的:

图 1. y=1/x 的局部图像,使用 www.desmos.com 生成

如图 2 所示,当函数的极限等于 0 时,函数也可能是小于 [latex]0[/latex] 的:

图 2. y=1/(-x) 的局部图像,使用 www.desmos.com 生成

第三种情况,当函数的极限等于 [latex]0[/latex] 时,函数可能也是等于 [latex]0[/latex] 的,如图 3 所示:

图 3. y=0 的局部图像,使用 www.desmos.com 生成

因此,已知极限 [latex]\lim_{x \rightarrow x_{0}}[f(x)-g(x)]\geqslant0[/latex], 并不能推导出函数 [latex]F(x)=[f(x)-g(x)]\geqslant0[/latex].

综上可知,选项 A 是错误的。

B 选项

题目中给出了如下条件:

若 [latex]\exists \varepsilon>0[/latex], 当 [latex]0<|x-x_{0}|<\varepsilon[/latex] 时

因此,本题符合函数极限保号性的使用条件,条件可用,可以继续接下来的思考步骤。

接着,该选项给出:

[latex]f(x)>g(x)[/latex]

于是,当我们令 [latex]F(x)=f(x)-g(x)[/latex] 时,可以得出如下结论:

[latex]F(x)>0[/latex]

接着,该选项又给出:

[latex]\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A_{0}, \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)=B_{0}[/latex]

这说明函数 [latex]f(x)[/latex] 和函数 [latex]g(x)[/latex] 都是存在极限的,符合我们研究函数极限问题的大前提,条件可用,可以继续接下来的思考步骤。

最后,该选项给出了他的结论:

[latex]A_{0}>B_{0}[/latex]

有了这个结论,结合前面的条件,我们可以把该选项改写成如下形式:

已知函数 [latex]F(x)[/latex] 存在极限,且函数 [latex]F(x)>0[/latex], 则 [latex]\lim_{x \rightarrow x_{0}}F(x)>0[/latex].

这个结论显然是错误的,因为已知函数大于 [latex]0[/latex] 的时候,其极限是可能等于 [latex]0[/latex] 的,例如对 A 选项的解析中给出的图 1, 函数 [latex]f(x)=\frac{1}{x}[/latex] 始终是大于 [latex]0[/latex] 的,但是其极限却是等于 [latex]0[/latex] 的。

综上可知,选项 B 是错误的。

C 选项

该选项的错误比较明显,因为选项中没有指明函数 [latex]f(x)[/latex] 和函数 [latex]g(x)[/latex] 的极限存在,缺少了研究极限问题的大前提,那么,接下来的所有说明和结论都是没有根据也没有意义的。不过,如果 C 选项像 B 选项一样指明函数 [latex]f(x)[/latex] 和函数 [latex]g(x)[/latex] 的极限是存在的,那么该选项的表述就是正确的,原因在 B 选项中已经分析过。

综上可知,选项 C 是错误的。

D 选项

该选项首先给出了如下条件:

[latex]\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)>\lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)[/latex]

若我们令 [latex]F(x)=f(x)-g(x)[/latex], 则上面的条件可以改写成:

[latex]\lim_{x \rightarrow x_{0}}F(x)>0[/latex]

接着选项给出了:

若 [latex]\exists \varepsilon>0[/latex], 当 [latex]0<|x-x_{0}|<\varepsilon[/latex] 时

这说明我们是要在“函数极限的管辖范围内”讨论这个选项的说法,具备使用保号性的前提,条件可用,可以继续接下来的思考步骤。

接着,该选项给出了它的结论:

[latex]f(x)>g(x)[/latex]

根据前面的分析可知,我们可以将此改写成:

[latex]F(x)>0[/latex]

我们知道,当一个函数的极限存在且大于 [latex]0[/latex] 的时候,在函数极限的管辖范围内,可以推导出该函数也大于 [latex]0[/latex].

综上可知,选项 D 是正确的。

EOF