题目
下列命题中正确的是（）
( A ) 若 \lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x), 则 \exists \varepsilon > 0, 当 0<|x-x_{0}|<\varepsilon 时，f(x) \geqslant g(x).
( B ) 若 \exists \varepsilon>0, 当 0<|x-x_{0}|< \varepsilon 时，f(x)>g(x), 且 \lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A_{0}, \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)=B_{0}, 则 A_{0}>B_{0}.
( C ) 若 \exists \varepsilon>0, 当 0<|x-x_{0}|<\varepsilon 时，f(x)>g(x), 则 \lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) \geqslant \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x).
( D ) 若 \lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)>\lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x), 则 \exists \varepsilon>0, 当 0<|x-x_{0}|<\varepsilon 时，f(x)>g(x).
解析
概念考察题是考研数学中一类比较难的题，这类题的难点在于除了紧抠概念之外，解答者没有多少可以自由发挥的空间。而且，概念考察题考察的都是概念的细微之处，一不留神就可能审错题。
从本题的四个选项可以看出，本题考查的着重点在函数极限这一部分。更细致的来看，本题考查了函数极限的定义中当 x \rightarrow x_{0} 时的极限的定义，如下：
已知 \lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A
任给 \varepsilon >0, 存在正数 \delta, 当 0<x-x_{0}<\delta 时，就有 |f(x)-A|<\varepsilon.
注：上面这个定义说的通俗一点就是，当 x 与 x_{0} 足够接近的时候，f(x) 与 f(x) 的极限 A 也足够接近。
本题还考察了函数极限的性质中的“保号性”，如下：
设 \lim f(x)=A>0, 则在极限管辖的范围内，f(x)>0(f(x)>\frac{A}{2}).
反之，f(x)>0 且 \lim f(x)=A \Rightarrow A \geqslant 0.
注：当 x \rightarrow x_{0} 时，“极限管辖的范围”指的就是 x_{0} 的去心邻域；当 x \rightarrow \infty 时，“极限管辖的范围”指的就是无穷远处。
对于函数极限的性质中的保号性，我们需要明确以下几点：
- 解答保号性问题的大前提是“涉及到的函数的极限均存在”，这也是解决所有涉及极限的问题的大前提：要研究和利用极限，则极限必须存在；
- 保号性都是局部保号性，即只有在极限管辖的范围内才存在保号性；
- 由极限大于 0 可以推出函数大于 0, 不能推出函数等于 0 或者函数小于 0. 由函数大于 0 可以推出极限大于 0 或者极限等于 0, 而且在不确定极限究竟是只大于 0 还是只小于 0 的情况下，要写成极限大于等于 0 的形式。
以下是对本题中每一个选项的分析。
A 选项
该选项给出了：
\lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)这说明 f(x) 和 g(x) 的极限都存在（满足了研究极限问题的大前提，条件可用，可以继续接下来的思考步骤）且 f(x) 的极限大于等于 f(x) 的极限。
于是，我们有：
\lim_{x \rightarrow x_{0}}(f(x)-g(x)) \geqslant 0接下来选项给出了：
若 \exists \varepsilon > 0, 当 0<|x-x_{0}|<\varepsilon 时
这说明我们是要在“函数极限的管辖范围内”讨论这个选项的说法，具备使用保号性的前提，条件可用，可以继续接下来的思考步骤。
该选项接下来指出，由上面的条件可以推出 f(x) \geqslant g(x).
这个结论是不对的。原因如下：
若函数 f(x) 的极限 A >0, 则可以推出函数 f(x)>0;
若函数 f(x) 的极限 A<0, 则可以推出函数 f(x)<0;
若函数 f(x) 的极限 A=0, 则不能确定函数 f(x) 是大于 0, 小于 0 还是等于 0. 原因是，如果 A=0 我们不知道函数 f(x) 是在大于 0 的方向上趋近于极限 A, 还是在小于 0 的方向上趋近于极限 A, 抑或 f(x)=0.
如图 1 所示，当函数的极限等于 0 时，函数可能是大于 0 的：
如图 2 所示，当函数的极限等于 0 时，函数也可能是小于 0 的：
第三种情况，当函数的极限等于 0 时，函数可能也是等于 0 的，如图 3 所示：
因此，已知极限 \lim_{x \rightarrow x_{0}}[f(x)-g(x)]\geqslant0, 并不能推导出函数 F(x)=[f(x)-g(x)]\geqslant0.
综上可知，选项 A 是错误的。
B 选项
题目中给出了如下条件：
若 \exists \varepsilon>0, 当 0<|x-x_{0}|<\varepsilon 时
因此，本题符合函数极限保号性的使用条件，条件可用，可以继续接下来的思考步骤。
接着，该选项给出：
f(x)>g(x)于是，当我们令 F(x)=f(x)-g(x) 时，可以得出如下结论：
F(x)>0接着，该选项又给出：
\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A_{0}, \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)=B_{0}这说明函数 f(x) 和函数 g(x) 都是存在极限的，符合我们研究函数极限问题的大前提，条件可用，可以继续接下来的思考步骤。
最后，该选项给出了他的结论：
A_{0}>B_{0}有了这个结论，结合前面的条件，我们可以把该选项改写成如下形式：
已知函数 F(x) 存在极限，且函数 F(x)>0, 则 \lim_{x \rightarrow x_{0}}F(x)>0.
这个结论显然是错误的，因为已知函数大于 0 的时候，其极限是可能等于 0 的，例如对 A 选项的解析中给出的图 1, 函数 f(x)=\frac{1}{x} 始终是大于 0 的，但是其极限却是等于 0 的。
综上可知，选项 B 是错误的。
C 选项
该选项的错误比较明显，因为选项中没有指明函数 f(x) 和函数 g(x) 的极限存在，缺少了研究极限问题的大前提，那么，接下来的所有说明和结论都是没有根据也没有意义的。不过，如果 C 选项像 B 选项一样指明函数 f(x) 和函数 g(x) 的极限是存在的，那么该选项的表述就是正确的，原因在 B 选项中已经分析过。
综上可知，选项 C 是错误的。
D 选项
该选项首先给出了如下条件：
\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)>\lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)若我们令 F(x)=f(x)-g(x), 则上面的条件可以改写成：
\lim_{x \rightarrow x_{0}}F(x)>0接着选项给出了：
若 \exists \varepsilon>0, 当 0<|x-x_{0}|<\varepsilon 时
这说明我们是要在“函数极限的管辖范围内”讨论这个选项的说法，具备使用保号性的前提，条件可用，可以继续接下来的思考步骤。
接着，该选项给出了它的结论：
f(x)>g(x)根据前面的分析可知，我们可以将此改写成：
F(x)>0我们知道，当一个函数的极限存在且大于 0 的时候，在函数极限的管辖范围内，可以推导出该函数也大于 0.
综上可知，选项 D 是正确的。
EOF