一点处导数的表达式一致，但该点处的导数不一定存在

一、题目

一致 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x}{1+2^{\frac{1}{x}}}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$

请讨论 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的可导性。

难度评级：

二、解析

根据一点处导数的定义可知：

$$
\begin{aligned}
f^{\prime}(0) \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{1+2^{\frac{1}{x}}}
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{1}{1+2^{\frac{1}{x}}} = \frac{1}{1 + 2^{- \infty}} = \frac{1}{1} = 1
$$

即：

$$
\textcolor{springgreen}{
f^{\prime}(0^{-})=1
}
$$

又：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{1+2^{\frac{1}{x}}} = \frac{1}{1 + 2^{\infty}} = \frac{1}{\infty} = 0
$$

即：

$$
\textcolor{springgreen}{
f^{\prime}(0^{+})=0
}
$$

综上，由于函数 $f(x)$ 在点 $x = 0$ 处的左右导数不相等：

$$
f^{\prime}(0^{-}) \neq f^{\prime}(0^{+})
$$

因此，函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处不可导。

---