在涉及数列的题目中，一定要注意该数列有多少项：并不是所有的数列都是 n 项

一、题目

已知 $a_{1}=1$, $a_{2}=2$, $3 a_{n+2}-4 a_{n+1}+a_{n}=0$, $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $n$.

则：$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}$ $=$ $?$

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二、解析

首先，分析可知，题目所给条件中的 “$a_{1}=1$, $a_{2}=2$” 仅仅是一种初始条件，并没有包含任何规律性的信息，而要求解数列 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}$ 的值，就必须找到一定的规律。

因此，我们只能从下式入手：

$$
3 a_{n+2}-4 a_{n+1}+a_{n}=0
$$

由上式，可得：

$$
3\left(a_{n+2}-a_{n+1}\right)=a_{n+1}-a_{n}
$$

其中，$n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $n$

于是，若令 $b_{n}$ $=$ $a_{n+1}-a_{n}$, 则：

$$
\frac{b_{n+1}}{ b_{n} } = \frac{1}{3}
$$

其中，$n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $n$

于是可知，数列 $b_{n}$ 是一个等比数列，公比 $q = \frac{1}{3}$.

又因为：

$$
b_{1} = a_{2} – a_{1} = 2 – 1 = 1
$$

从而，根据等比数列求第 $n$ 项的公式，可得：

$$
\begin{aligned}
b_{n} & \\ \\
& = b_{1} \cdot q^{n-1} \\ \\
& = \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1}
\end{aligned}
$$

进而：

$$
\textcolor{red}{\boldsymbol{ n-1} } \text{ 项 } \Rightarrow
\begin{cases}
\begin{aligned}
a_{2}-a_{1} & = 1 \\
a_{3}-a_{2} & = \frac{1}{3} \\
\vdots \\
a_{n}-a_{n-1} & = \frac{1}{3^{\textcolor{green}{\boldsymbol{ \ n-2 }}}}
\end{aligned}
\end{cases}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
& (\textcolor{yellow}{a_{2}} – a_{1}) + (a_{3} \textcolor{yellow}{ – a_{2} }) + \cdots + (a_{n} – a_{n-1}) \\ \\
& = a_{n} – a_{1} \\ \\
& = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \cdots + \frac{1}{3^{n-2}} \\ \\
& = \frac{1 \cdot (1 – \frac{1}{3^{\textcolor{red}{\boldsymbol{ \ n-1 }}}})}{\frac{2}{3}} \\ \\
& = \frac{3}{2} (1 – \frac{1}{3^{n-1}})
\end{aligned}
$$

等比数列前 $n$ 项和的公式为：
$S_{n}$ $=$ $\frac{a_{1} (1 – q^{n})}{1 – q}$

综上可知：

$$
a_{n}=1+\frac{3}{2}\left(1-\frac{1}{3^{n-1}}\right)
$$

即：

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} = 1 + \frac{3}{2} \cdot (1 – 0) = \frac{5}{2}
$$

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