题目
\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^{2}}=解法一
使用四则运算将原式化简，之后使用等价无穷小替换求出结果。
\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^{2}}=\lim_{x\to0}\frac{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2)(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}{x^{2}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}=\lim_{x \to 0}\frac{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})^{2}-4}{x^{2}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}=\lim_{x\to0}\frac{1+x+1-x+2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}-4}{x^{2}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}=\lim_{x\to0}\frac{2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}-2}{x^{2}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}由于当 x\rightarrow0 时，(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})\rightarrow2, 因此有：
\lim_{x\to0}\frac{2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}-2}{4x^{2}}=lim_{x\to0}\frac{2(\sqrt{1-x^{2}}-1)}{4x^{2}}=lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1-x^{2}}-1}{2x^{2}}根据等价无穷小的如下替换原则：
(1+x)^{\mu }-1\backsim\mu x（更多可以参考高等数学中常用的等价无穷小）
可知：
\sqrt{1-x^{2}}-1\backsim-\frac{1}{2}x^{2}, 因此有：
lim_{x\to0}\frac{-\frac{1}{2}x^{2}}{2x^{2}}=-\frac{1}{4}解法二
观察题目中的式子可以发现，当 x\rightarrow0 时，满足以下条件：
(1) \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2\rightarrow0
(2) x^{2}\rightarrow0 且 x^{2}\neq0
(3) y=\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2 和 y=x^{2} 在 0 附近两者都可导（在 0 附近，导数存在且连续，故可导）。
综上可知，此处可以使用 \frac{0}{0} 型的洛必达法则，即可以对分子和分母分别求导后再求极限来确定未定式的值。
求导过程如下：
原式 =lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{2\sqrt{1+x}} - \frac{1}{2 \sqrt{1-x}}}{2x} = lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{\sqrt{1+x}}-\frac{1}{\sqrt{1-x}}}{4x} = lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{4x(\sqrt{1+x} \times \sqrt{1-x})} = lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1-x} - \sqrt{1+x}}{4x \sqrt{1-x^{2}}}
因为，当 x \rightarrow0 时，\sqrt{1-x^{2}} \rightarrow 1, 所以有：
lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{4x}上面的计算过程依次是“求导 / 化简 / 化简 / 化简 / 化简”。下面开始正式使用 \frac{0}{0} 型的洛必达法则进行计算：
\overset{\frac{0}{0}}{\rightarrow}lim_{x \to 0} = -\frac{\frac{1}{2\sqrt{1-x}} - \frac{1}{2\sqrt{1+x}}}{4}经过上面的求导，我们发现，当 x \rightarrow 0 时，-\frac{1}{2\sqrt{1-x}} \rightarrow -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2\sqrt{1+x}} \rightarrow 0, 因此有：
原式 =\frac{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}{4} = \frac{-(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})}{4} = -\frac{1}{4}
在使用洛必达法则解决该问题的时候，进行了两次求导。其实，只要满足以下三个条件，则在使用洛必达法则的过程中可以进行任意次求导，但需要注意的是，每一次求导之前必须确保式子仍然满足如下三个条件，否则不能使用洛必达法则：
设：y=\frac{f(x)}{g(x)}, 则需满足：
(01) x \rightarrow x_{0} 或 x \rightarrow \infty 时，f(x) 和 g(x) 均趋于 0 或者趋于 \infty;
(02) f(x) 和 g(x) 在 x_{0} 的去心邻域可导且 {g}'(x) \neq 0;
(03) \frac{{f}'(x)}{{g}'(x)} 的极限存在或者为无穷大。
总结来说，洛必达法则的使用方法如下：
解法三
观察题目中的式子我们发现，可以使用麦克劳林展开式的 (1+x)^{m} 的形式和皮亚诺余项对该题目进行计算，公式如下：
(1+x)^{m} = 1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}x^{2}+o(x^{2})代入公式可得：
\sqrt{1+x}=(1+x)^{\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{2}x+\frac{\frac{1}{2}\times(\frac{1}{2}-1)}{2!}x^{2}+o(x^{2})=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^{2}+o(x^{2})\sqrt{1-x}=(1-x)^{\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{\frac{1}{2}\times(\frac{1}{2}-1)}{2!}x^{2}+o(x^{2})=1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^{2}+o(x^{2})
于是有：
原式=lim_{x \to 0}\frac{1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^{2}+1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^{2}+o(x^{2})-2}{x^{2}}=lim_{x \to 0}\frac{-\frac{1}{4}x^{2}+o(x^{2})}{x^{2}}=lim_{x\to0}-\frac{1}{4}+\frac{0(x^{2})}{x^{2}}=-\frac{1}{4}
EOF