# 1998 年研究生入学考试数学二填空题第 1 题解析（三种方法）

## 一、题目

$\lim_{x \to 0}$ $\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^{2}}$ $=$

## 解法一

$\lim_{x \to 0}$ $\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^{2}}$ $=$ $\lim_{x \to 0}$ $\frac{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2)(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}{x^{2}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}$ $=$ $\lim_{x \to 0}$ $\frac{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})^{2}-4}{x^{2}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}$ $=$ $\lim_{x \to 0}$ $\frac{1+x+1-x+2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}-4}{x^{2}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}$ $=$ $\lim_{x \to 0}$ $\frac{2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}-2}{x^{2}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}$

$\lim_{x \to 0}$ $\frac{2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}-2}{4x^{2}}$ $=$ $\lim_{x \to 0}$ $\frac{2(\sqrt{1-x^{2}}-1)}{4x^{2}}$ $=$ $\lim_{x \to 0}$ $\frac{\sqrt{1-x^{2}}-1}{2x^{2}}$

$(1+x)^{\mu }$ $-$ $1$ $\backsim$ $\mu$ $x$

$\sqrt{1-x^{2}}$ $-$ $1$ $\backsim$ $-$ $\frac{1}{2}x^{2}$, 因此有：

$\lim_{x \to 0}$ $\frac{-\frac{1}{2}x^{2}}{2x^{2}}$ $=$ $-$ $\frac{1}{4}$

## 解法二

(1) $\sqrt{1+x}$ $+$ $\sqrt{1-x}$ $-$ $2$ $\rightarrow$ $0$

(2) $x^{2}$ $\rightarrow$ $0$ 且 $x^{2}$ $\neq$ $0$

(3) $y$ $=$ $\sqrt{1+x}$ $+$ $\sqrt{1-x}$ $-$ $2$ 和 $y$ $=$ $x^{2}$ 在 $0$

$\lim_{x \to 0}$ $\frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{4x}$

$\overset{\frac{0}{0}}{\rightarrow}$ $\lim_{x \to 0}$ $=$ $-$ $\frac{\frac{1}{2\sqrt{1-x}} – \frac{1}{2\sqrt{1+x}}}{4}$

(01) $x$ $\rightarrow$ $x_{0}$ 或 $x$ $\rightarrow$ $\infty$ 时，$f(x)$ 和 $g(x)$ 均趋于 $0$ 或者趋于 $\infty$;

(02) $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x_{0}$ 的去心邻域可导且 ${g}'(x)$ $\neq$ $0$;

(03) $\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}$ 的极限存在或者为无穷大。

$\lim_{x \to x_{0}}$ $\frac{f(x)}{g(x)}$ $=$ $\lim_{x \to x_{0}}$ $\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}$

## 解法三

$(1+x)^{m}$ $=$ $1$ $+$ $mx$ $+$ $\frac{m(m-1)}{2!}$ $x^{2}$ $+$ $o(x^{2})$

$\sqrt{1+x}$ $=$ $(1+x)^{\frac{1}{2}}$ $=$ $1$ $+$ $\frac{1}{2}$ $x$ $+$ $\frac{\frac{1}{2} \times (\frac{1}{2}-1)}{2!}$ $x^{2}$ $+$ $o(x^{2}$ $)$ $=$ $1$ $+$ $\frac{1}{2}$ $x$ $-$ $\frac{1}{8}$ $x^{2}$ $+$ $o(x^{2})$

$\sqrt{1-x}$ $=$ $(1-x)^{\frac{1}{2}}$ $=$ $1$ $-$ $\frac{1}{2}$ $x$ $+$ $\frac{\frac{1}{2} \times (\frac{1}{2}-1)}{2!}$ $x^{2}$ $+$ $o(x^{2})$ $=$ $1$ $-$ $\frac{1}{2}$ $x$ $-$ $\frac{1}{8}$ $x^{2}$ $+$ $o(x^{2})$

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