1998 年研究生入学考试数学二填空题第 1 题解析(三种方法)

题目

\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^{2}}=

解法一

使用四则运算将原式化简,之后使用等价无穷小替换求出结果。

\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^{2}}=\lim_{x\to0}\frac{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2)(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}{x^{2}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}=\lim_{x \to 0}\frac{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})^{2}-4}{x^{2}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}=\lim_{x\to0}\frac{1+x+1-x+2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}-4}{x^{2}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}=\lim_{x\to0}\frac{2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}-2}{x^{2}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}

由于当 x\rightarrow0 时,(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})\rightarrow2, 因此有:

\lim_{x\to0}\frac{2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}-2}{4x^{2}}=lim_{x\to0}\frac{2(\sqrt{1-x^{2}}-1)}{4x^{2}}=lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1-x^{2}}-1}{2x^{2}}

根据等价无穷小的如下替换原则:

(1+x)^{\mu }-1\backsim\mu x

更多可以参考高等数学中常用的等价无穷小

可知:

\sqrt{1-x^{2}}-1\backsim-\frac{1}{2}x^{2}, 因此有:

lim_{x\to0}\frac{-\frac{1}{2}x^{2}}{2x^{2}}=-\frac{1}{4}

解法二

观察题目中的式子可以发现,当 x\rightarrow0 时,满足以下条件:
(1) \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2\rightarrow0

(2) x^{2}\rightarrow0x^{2}\neq0

(3) y=\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2y=x^{2}0 附近两者都可导(0 附近,导数存在且连续,故可导)。

综上可知,此处可以使用 \frac{0}{0} 型的洛必达法则,即可以对分子和分母分别求导后再求极限来确定未定式的值。

求导过程如下:

原式 =lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{2\sqrt{1+x}} - \frac{1}{2 \sqrt{1-x}}}{2x} = lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{\sqrt{1+x}}-\frac{1}{\sqrt{1-x}}}{4x} = lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{4x(\sqrt{1+x} \times \sqrt{1-x})} = lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1-x} - \sqrt{1+x}}{4x \sqrt{1-x^{2}}}

因为,当 x \rightarrow0 时,\sqrt{1-x^{2}} \rightarrow 1, 所以有:

lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{4x}

上面的计算过程依次是“求导 / 化简 / 化简 / 化简 / 化简”。下面开始正式使用 \frac{0}{0} 型的洛必达法则进行计算:

\overset{\frac{0}{0}}{\rightarrow}lim_{x \to 0} = -\frac{\frac{1}{2\sqrt{1-x}} - \frac{1}{2\sqrt{1+x}}}{4}

经过上面的求导,我们发现,当 x \rightarrow 0 时,-\frac{1}{2\sqrt{1-x}} \rightarrow -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2\sqrt{1+x}} \rightarrow 0, 因此有:

原式 =\frac{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}{4} = \frac{-(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})}{4} = -\frac{1}{4}

在使用洛必达法则解决该问题的时候,进行了两次求导。其实,只要满足以下三个条件,则在使用洛必达法则的过程中可以进行任意次求导,但需要注意的是,每一次求导之前必须确保式子仍然满足如下三个条件,否则不能使用洛必达法则:

设:y=\frac{f(x)}{g(x)}, 则需满足:

(01) x \rightarrow x_{0}x \rightarrow \infty 时,f(x)g(x) 均趋于 0 或者趋于 \infty;

(02) f(x)g(x)x_{0} 的去心邻域可导且 {g}'(x) \neq 0;

(03) \frac{{f}'(x)}{{g}'(x)} 的极限存在或者为无穷大。
总结来说,洛必达法则的使用方法如下:

lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x \to x_{0}} \frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}

解法三

观察题目中的式子我们发现,可以使用麦克劳林展开式的 (1+x)^{m} 的形式和皮亚诺余项对该题目进行计算,公式如下:

(1+x)^{m} = 1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}x^{2}+o(x^{2})

代入公式可得:

\sqrt{1+x}=(1+x)^{\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{2}x+\frac{\frac{1}{2}\times(\frac{1}{2}-1)}{2!}x^{2}+o(x^{2})=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^{2}+o(x^{2})
\sqrt{1-x}=(1-x)^{\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{\frac{1}{2}\times(\frac{1}{2}-1)}{2!}x^{2}+o(x^{2})=1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^{2}+o(x^{2})

于是有:

原式=lim_{x \to 0}\frac{1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^{2}+1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^{2}+o(x^{2})-2}{x^{2}}=lim_{x \to 0}\frac{-\frac{1}{4}x^{2}+o(x^{2})}{x^{2}}=lim_{x\to0}-\frac{1}{4}+\frac{0(x^{2})}{x^{2}}=-\frac{1}{4}

EOF