1998 年研究生入学考试数学二填空题第 1 题解析(三种方法)

题目

[latex]\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^{2}}=[/latex]

解法一

使用四则运算将原式化简,之后使用等价无穷小替换求出结果。

[latex]\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^{2}}=\lim_{x\to0}\frac{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2)(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}{x^{2}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}=\lim_{x \to 0}\frac{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})^{2}-4}{x^{2}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}=\lim_{x\to0}\frac{1+x+1-x+2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}-4}{x^{2}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}=\lim_{x\to0}\frac{2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}-2}{x^{2}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}[/latex]

由于当 [latex]x\rightarrow0[/latex] 时,[latex](\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})\rightarrow2[/latex], 因此有:

[latex]\lim_{x\to0}\frac{2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}-2}{4x^{2}}=lim_{x\to0}\frac{2(\sqrt{1-x^{2}}-1)}{4x^{2}}=lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1-x^{2}}-1}{2x^{2}}[/latex]

根据等价无穷小的如下替换原则:

[latex](1+x)^{\mu }-1\backsim\mu x[/latex]

更多可以参考高等数学中常用的等价无穷小

可知:

[latex]\sqrt{1-x^{2}}-1\backsim-\frac{1}{2}x^{2}[/latex], 因此有:

[latex]lim_{x\to0}\frac{-\frac{1}{2}x^{2}}{2x^{2}}=-\frac{1}{4}[/latex]

解法二

观察题目中的式子可以发现,当 [latex]x\rightarrow0[/latex] 时,满足以下条件:
(1) [latex]\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2\rightarrow0[/latex]

(2) [latex]x^{2}\rightarrow0[/latex] 且 [latex]x^{2}\neq0[/latex]

(3) [latex]y=\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2[/latex] 和 [latex]y=x^{2}[/latex] 在 [latex]0[/latex] 附近两者都可导(在 [latex]0[/latex] 附近,导数存在且连续,故可导)。

综上可知,此处可以使用 [latex]\frac{0}{0}[/latex] 型的洛必达法则,即可以对分子和分母分别求导后再求极限来确定未定式的值。

求导过程如下:

原式 [latex]=lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{2\sqrt{1+x}} – \frac{1}{2 \sqrt{1-x}}}{2x} = lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{\sqrt{1+x}}-\frac{1}{\sqrt{1-x}}}{4x} = lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{4x(\sqrt{1+x} \times \sqrt{1-x})} = lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1-x} – \sqrt{1+x}}{4x \sqrt{1-x^{2}}}[/latex]

因为,当 [latex]x \rightarrow0[/latex] 时,[latex]\sqrt{1-x^{2}} \rightarrow 1[/latex], 所以有:

[latex]lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{4x}[/latex]

上面的计算过程依次是“求导 / 化简 / 化简 / 化简 / 化简”。下面开始正式使用 [latex]\frac{0}{0}[/latex] 型的洛必达法则进行计算:

[latex]\overset{\frac{0}{0}}{\rightarrow}lim_{x \to 0} = -\frac{\frac{1}{2\sqrt{1-x}} – \frac{1}{2\sqrt{1+x}}}{4}[/latex]

经过上面的求导,我们发现,当 [latex]x \rightarrow 0[/latex] 时,[latex]-\frac{1}{2\sqrt{1-x}} \rightarrow -\frac{1}{2}[/latex], [latex]-\frac{1}{2\sqrt{1+x}} \rightarrow 0[/latex], 因此有:

原式 [latex]=\frac{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}{4} = \frac{-(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})}{4} = -\frac{1}{4}[/latex]

在使用洛必达法则解决该问题的时候,进行了两次求导。其实,只要满足以下三个条件,则在使用洛必达法则的过程中可以进行任意次求导,但需要注意的是,每一次求导之前必须确保式子仍然满足如下三个条件,否则不能使用洛必达法则:

设:[latex]y=\frac{f(x)}{g(x)}[/latex], 则需满足:

(01) [latex]x \rightarrow x_{0}[/latex] 或 [latex]x \rightarrow \infty[/latex] 时,[latex]f(x)[/latex] 和 [latex]g(x)[/latex] 均趋于 [latex]0[/latex] 或者趋于 [latex]\infty[/latex];

(02) [latex]f(x)[/latex] 和 [latex]g(x)[/latex] 在 [latex]x_{0}[/latex] 的去心邻域可导且 [latex]{g}'(x) \neq 0[/latex];

(03) [latex]\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}[/latex] 的极限存在或者为无穷大。
总结来说,洛必达法则的使用方法如下:

[latex]lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x \to x_{0}} \frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}[/latex]

解法三

观察题目中的式子我们发现,可以使用麦克劳林展开式的 [latex](1+x)^{m}[/latex] 的形式和皮亚诺余项对该题目进行计算,公式如下:

[latex](1+x)^{m} = 1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}x^{2}+o(x^{2})[/latex]

代入公式可得:

[latex]\sqrt{1+x}=(1+x)^{\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{2}x+\frac{\frac{1}{2}\times(\frac{1}{2}-1)}{2!}x^{2}+o(x^{2})=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^{2}+o(x^{2})[/latex]


[latex]\sqrt{1-x}=(1-x)^{\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{\frac{1}{2}\times(\frac{1}{2}-1)}{2!}x^{2}+o(x^{2})=1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^{2}+o(x^{2})[/latex]

于是有:

原式[latex]=lim_{x \to 0}\frac{1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^{2}+1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^{2}+o(x^{2})-2}{x^{2}}=lim_{x \to 0}\frac{-\frac{1}{4}x^{2}+o(x^{2})}{x^{2}}=lim_{x\to0}-\frac{1}{4}+\frac{0(x^{2})}{x^{2}}=-\frac{1}{4}[/latex]

EOF