2015年考研数二第19题解析:变限积分、零点、一阶导数

题目

已知函数 $f(x) =$ $\int_{x}^{1} \sqrt{1+t^{2}} {\rm d} t +$ $\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{1+t} {\rm d} t$, 求 $f(x)$ 零点的个数.

解析

首先要明确一点,函数 $f(x)$ 的零点,就是使 $f(x) = 0$ 成立的点。

根据题目,有:

$$
f^{‘}(x) =
$$

$$
(-1) \cdot \sqrt{1+x^{2}} + 2x \sqrt{1+x^{2}} =
$$

$$
(2x-1) \sqrt{1+x^{2}}.
$$

令 $f^{‘}(x) = 0$, 则:

$$
(2x-1) \sqrt{1+x^{2}} = 0 \Rightarrow
$$

$$
x = \frac{1}{2}.
$$

当 $x < \frac{1}{2}$ 时:

$$
(2x-1) \sqrt{1+x^{2}} < 0 \Rightarrow
$$

$$
f^{‘}(x) < 0.
$$

当 $x > \frac{1}{2}$ 时:

$$
(2x-1) \sqrt{1+x^{2}} > 0 \Rightarrow
$$

$$
f^{‘}(x) > 0.
$$

综上可知:

  1. 函数 $f(x)$ 在区间 $(- \infty, \frac{1}{2})$ 上单调递减;
  2. 函数 $f(x)$ 在区间 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ 上单调递增。

于是,当 $x = \frac{1}{2}$ 时,函数 $f(x)$ 取得最小值,且:

$$
f(\frac{1}{2}) =
$$

$$
\int_{\frac{1}{2}}^{1} \sqrt{1+t^{2}} {\rm d} t + \int_{1}^{\frac{1}{4}} \sqrt{1+t} {\rm d} t =
$$

$$
\int_{\frac{1}{2}}^{1} \sqrt{1+t^{2}} {\rm d} t – \int_{\frac{1}{4}}^{1} \sqrt{1+t} {\rm d} t.
$$

分析可知,$\int_{\frac{1}{2}}^{1} \sqrt{1+t^{2}} {\rm d} t$ 的积分区间 $[\frac{1}{2}, 1]$ 只是 $\int_{\frac{1}{4}}^{1} \sqrt{1+t} {\rm d} t$ 的积分区间 $[\frac{1}{4}, 1]$ 的一个子集,而且,在区间 $(0,1]$ 中,必有 $t^{2} < t$, 于是:

$$
\int_{\frac{1}{2}}^{1} \sqrt{1+t^{2}} {\rm d} t < \int_{\frac{1}{4}}^{1} \sqrt{1+t} {\rm d} t \Rightarrow
$$

$$
\int_{\frac{1}{2}}^{1} \sqrt{1+t^{2}} {\rm d} t – \int_{\frac{1}{4}}^{1} \sqrt{1+t} {\rm d} t < 0 \Rightarrow
$$

$$
f(\frac{1}{2}) < 0.
$$

注:

[1]. 计算可知:

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} \sqrt{1+t^{2}} {\rm d} t \approx 0.627679164979$;

$\int_{\frac{1}{4}}^{1} \sqrt{1+t} {\rm d} t \approx 0.953923092539$.

又由于 $\sqrt{1+t^{2}} > 0$ 和 $\sqrt{1+t} > 0$ 始终成立,因此:

$$
\lim_{x \rightarrow – \infty} f(x) > 0;
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) > 0.
$$

因此,函数 $f(x)$ 有两个零点:

  1. 函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty, \frac{1}{2})$ 之间存在一个零点;
  2. 函数 $f(x)$ 在区间 $(\frac{1}{2}, +\infty)$ 之间存在一个零点。由于 $f(1) =$ $\int_{1}^{1} \sqrt{1+t^{2}} {\rm d} t +$ $\int_{1}^{1} \sqrt{1+t} {\rm d} t =$ $0+0=0$, 所以,位于区间 $(\frac{1}{2}, +\infty)$ 上的这个零点就是点 $(1,0)$.

补充

函数 $f(x) =$ $\int_{x}^{1} \sqrt{1+t^{2}} {\rm d} t +$ $\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{1+t} {\rm d} t$ 的具体图像可以参考图 01:

2015年考研数二第19题解析:变限积分、零点、一阶导数_荒原之梦
图 01.