复合函数的可导性是外层函数可导性的子集

一、题目

已知 $f(0)=0$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(x^{2}\right)}{x^{2}}$ 存在是 $f(x)$ 在 $x=0$ 可导的充要条件吗？

难度评级：

二、解析

由题可知，下式的极限存在：

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x^{2}) – f(0)}{x^{2} – 0} = f^{\prime}(x^{2})
$$

但是，$f^{\prime}(x^{2})$ 存在并不能说明 $f^{\prime}(x)$ 存在。

例如，若 $f(x) = |x|$, 贼 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处不可导，但是，$f^{x^{2}} = |x^{2}| = x^{2}$ 在 $x = 0$ 处却是可导的，因此，根据“前充分后必要，小充分大必要”的原理，$\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(x^{2}\right)}{x^{2}}$ 存在是 $f(x)$ 在 $x=0$ 可导的【必要非充分条件】。

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