一点处的导数存在指的是该点处的左右导数都存在,但一点处的极限存在只需要一侧存在即是存在

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域有定义,且 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \varphi(x)=0$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f[\varphi(x)]-f(0)}{\varphi(x)}$ 存在是 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导的充分必要条件吗?

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二、解析 解析 - 荒原之梦

首先,题目所问的问题其实就是 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f[\varphi(x)]-f(0)}{\varphi(x)}$ 和 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}$ 能否互相推导的问题。

分析可知,$\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}$ 存在意味着不无论是 $x \rightarrow 0^{+}$ 还是 $x \rightarrow 0^{-}$ 都要存在,也就是一点处的导数存在,则其左右导数均存在。

但是,$\lim \limits_{x \rightarrow 0} \varphi(x)=0$ 并不能保证 $x$ 一定趋于 $0^{+}$ 或者 $x$ 一定趋于 $0^{-}$, 例如,当 $\varphi(x)=x^{2}$ 时,只有:

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \varphi(x) \rightarrow 0^{+}
$$

因此:

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f[\varphi(x)]-f(0)}{\varphi(x)} \nRightarrow \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}
$$

接着分析,当 $x \rightarrow 0$ 时,$\varphi(x)$ 不一定是趋于零的,而可能是直接等于零,或者在部分点处直接等于零,例如当 $\varphi(x)=0$ 或者当 $\varphi(x)=x \sin \frac{1}{x}$ 时都存在这个情况,此时,由于分母不能等于零,于是可知:

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} \nRightarrow \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f[\varphi(x)]-f(0)}{\varphi(x)}
$$

当然,如果我们限定了 $\varphi(x) \rightarrow 0^{-}$ 和 $\varphi(x) \rightarrow 0^{+}$ 都存在,则可以由 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f[\varphi(x)]-f(0)}{\varphi(x)}$ 推出 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}$.

同时,如果我们限定了 $\varphi(x) \neq 0$, 则也可以由 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}$ 推出 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f[\varphi(x)]-f(0)}{\varphi(x)}$.

综上可知,$\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f[\varphi(x)]-f(0)}{\varphi(x)}$ 存在是 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导既非充分也非必要条件。


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