带绝对值的函数不一定不可导：用定义分析是普适的方法

一、题目

下列函数中在 $x=0$ 处不可导的是哪一个？

(A) $\int_{0}^{x}(|t|+t) d t$

(B) $|x|\left[x+\int_{0}^{|x|} e^{t^{2}} d t\right]$

(C) $|\tan x-\sin x|$

(D) $\sin |x|+\cos |x|$

难度评级：

二、解析

A 选项

$A$ 选项中的被积函数是一个连续函数，连续的函数一定可积，如果这个积分是一个变限积分当然也是可积的，因此，被积函数为连续函数的变限积分一定可导。

B 选项

该选项中的函数是否可积可以用一点处导数的定义判断，也可以借助如下定理判断：

$$
|x – a| \varphi(x) 在 x = a 处可导 \Leftrightarrow \varphi(a) = 0
$$

其中，$\varphi(x)$ 是连续函数。

上述结论的记忆方法：$|x – a|$ 在 $x = a$ 处是存在不可导的“尖点”的，但是，$\varphi(a) = 0$ 可以“弥合”这个尖点，让其变得“圆润”，因此 $|x – a| \varphi(x)$ 作为一个整体此时是可导的。

综上，若 $\varphi(x) = x+\int_{0}^{|x|} e^{t^{2}} d t$, $x = 0$, 则根据上述结论可知，$|x|\left[x+\int_{0}^{|x|} e^{t^{2}} d t\right]$ 是可导的。

C 选项

用定义判断：

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{|\tan x-\sin x| – 0}{x – 0} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{|\tan x-\sin x|}{x} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{|\frac{1}{2} x^{3}|}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{高阶无穷小}{低阶无穷小} = 0
$$

D 选项

由于加绝对值相当于把位于 $X$ 轴下方的图象向上翻了，此时，$\sin x$ 的函数图像会在 $x = 0$ 处形成不可导的“尖点”，而 $\cos x$ 由于在 $x = 0$ 处一直是大于零的（偶函数），因此不会因为绝对值运算在 $x = 0$ 处形成尖点，于是可知，当 $x \rightarrow 0$ 时：

$\sin |x|$ 不可导，$\cos |x| = \cos x$ 可导。

因此，$\sin |x| + \cos |x|$ 不可导。

Tips:

不可导函数 + 可导函数 = 不可导函数

当然，我们也可以用一点处导数的定义判断出 $\sin |x|$ 不可导：

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin |x| – 0}{x – 0} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin |x|}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{|x|}{x} \Rightarrow 极限不存在
$$

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