题目没问是极大值点还是极小值点的时候也要求解二阶导——因为一阶导等于零的点不一定有极值

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $y=y(x)$ 是由方程 $2 y^{3}-2 y^{2}+2 x y-x^{2}=1$ 确定的,则 $y=y(x)$ 的极值点是多少?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

首先找到使 $y=y(x)$ 一阶导等于零的点:

$$
2 y^{3}-2 y^{2}+2 x y-x^{2}=1 \Rightarrow \tag{1}
$$

左右两边同时对 $x$ 求导:

$$
6 y^{2} \cdot y^{\prime}-4 y \cdot y^{\prime}+2 y+2 x y^{\prime}-2 x=0 \Rightarrow \tag{2}
$$

$$
y^{\prime}=0 \Rightarrow
$$

$$
2 y-2 x=0 \Rightarrow x=y
$$

将 $y = x$ 代入到 $(1)$ 式中:

$$
2 x^{3}-2 x^{2}+2 x^{2}-x^{2}=1 \Rightarrow
$$

$$
2 x^{3}-x^{2}=1 \Rightarrow x^{2}(2 x-1)=1 \Rightarrow x = y =1
$$

根据《一阶等于零的点不一定是极值点》这篇文章可知,我们需要继续求导,找到二阶导以验证一阶导等于零的点是否是极值点:

对 $(2)$ 式进行整理在其左右两边同时对 $x$ 求导:

$$
y^{\prime}\left(6 y^{2}-4 y+2 x\right)+2 y-2 x=0 \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime \prime}\left(6 y^{2}-4 y+2 x\right)+y^{\prime}\left(12 y \cdot y^{\prime}-4 y^{\prime}+2\right)+
$$

$$
2 y^{\prime}-2=0 \Rightarrow
$$

$$
x=1, \quad y=1, \quad y^{\prime}=0 \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime \prime}(6-4+2)-2=0 \Rightarrow 4 y^{\prime \prime}=2 \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime \prime}=\frac{1}{2}>0
$$

于是可知,$(1, 1)$ 或者说 $x = 1$ 是函数 $y = y(x)$ 的极值点,而且是极小值点。


荒原之梦考研数学思维导图
荒原之梦考研数学思维导图

高等数学箭头 - 荒原之梦

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。

线性代数箭头 - 荒原之梦

以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。

特别专题箭头 - 荒原之梦

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。

荒原之梦考研数学网 | 让考场上没有难做的数学题!

荒原之梦网全部内容均为原创,提供了涵盖考研数学基础知识、考研数学真题、考研数学练习题和计算机科学等方面,大量精心研发的学习资源。

豫 ICP 备 17023611 号-1 | 公网安备 - 荒原之梦 豫公网安备 41142502000132 号 | SiteMap
Copyright © 2017-2024 ZhaoKaifeng.com 版权所有 All Rights Reserved.

Copyright © 2024   zhaokaifeng.com   All Rights Reserved.
豫ICP备17023611号-1
 豫公网安备41142502000132号

荒原之梦 自豪地采用WordPress