一个多层嵌套（复合函数）求偏导的题目

一、题目

已知：$z$ $=$ $f(x, y)$ 在点 $(1,2)$ 处可微, 且：

$f(1,2)$ $=$ $1$, $f_{x}^{\prime}(1,2)$ $=$ $2$, $f_{y}^{\prime}(1,2)$ $=$ $3$.

若设函数 $\varphi(x)$ $=$ $f(x, 2 f(x, 2 x))$, 则 $\varphi^{\prime}(1)$ $=$ $?$

难度评级：

二、解析

$$
\varphi(x)=f(x, 2 f(x, 2 x)) \Rightarrow
$$

$$
\varphi^{\prime}(x)=f_{1}^{\prime}+2 f^{\prime}(x, 2 x) f_{2}^{\prime}
$$

又：

$$
2 f^{\prime}(x, 2 x)=2\left(f_{1}^{\prime}+2 f_{2}^{\prime}\right)
$$

于是：

$$
\varphi^{\prime}(x)=f_{1}^{\prime}+2\left(f_{1}^{\prime}+2 f_{2}^{\prime}\right) f_{2}^{\prime}
$$

又因为，当 $x = 1$ 时：

$$
\varphi^{\prime}(1) = f^{\prime}(1,2 f(1,2)) = f^{\prime}(1,2)
$$

且：

$$
f_{x}^{\prime}(1,2) = 2,
$$

$$
f_{y}^{\prime}(1,2) = 3
$$

于是：

$$
\varphi^{\prime}(1)=2+2(2+6) \times 3 =
$$

$$
2+2 \times 8 \times 3 = 50.
$$

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