求解带有 $\ln$ 的题目时一定不要忘记可以化“乘除”为“加减”

一、题目

已知 $f(x)$ $=$ $\ln \frac{1 – 2x}{1 + 3x}$, 则 $f^{\prime \prime \prime}(0)$ $=$ $?$

难度评级：

二、解析

若要查看本题的另一种解法，可以点击这里。

求解这类含有 $\ln$ 函数的题目时，一定不要忘记可以使用如下公式，使得式子可以在“乘除”和“加减”之间转换：

$$
\ln \frac{M}{N} \rightleftarrows \ln M – \ln N
$$

$$
\ln MN \rightleftarrows \ln M + \ln N
$$

Next

于是：

$$
\ln \frac{1 – 2x}{1 + 3x} =
$$

$$
\ln (1 – 2x) – \ln (1 + 3x).
$$

Next

进而：

$$
\Big(\ln \frac{1 – 2x}{1 + 3x} \Big)^{\prime} =
$$

$$
\Big[ \ln (1 – 2x) – \ln (1 + 3x) \Big]^{\prime} =
$$

$$
\frac{-2}{1-2x} – \frac{3}{1 + 3x}.
$$

Next

继续：

$$
\Big(\ln \frac{1 – 2x}{1 + 3x} \Big)^{\prime \prime} =
$$

$$
\Big[ \frac{-2}{1-2x} – \frac{3}{1 + 3x} \Big]^{\prime} =
$$

$$
\frac{-2 \cdot (-2)}{(1-2x)^{2}} – \frac{3 \cdot 3}{(1 + 3x)^{2}} =
$$

$$
\frac{4}{(1-2x)^{2}} – \frac{9}{(1 + 3x)^{2}}.
$$

Next

继续：

$$
\Big(\ln \frac{1 – 2x}{1 + 3x} \Big)^{\prime \prime \prime} =
$$

$$
\Big[ \frac{4}{(1-2x)^{2}} – \frac{9}{(1 + 3x)^{2}} \Big]^{\prime} =
$$

计算 $[(1 – 2x)^{2}]^{\prime}$ 时，直接按照复合函数的求导法则计算即可，不要先将 $(1 – 2x)^{2}$ 展开再求导。

$$
\frac{4 \cdot 2 \cdot (-2)}{(1-2x)^{4}} – \frac{9 \cdot 2 \cdot 3}{(1 + 3x)^{4}}.
$$

Next

即：

$$
f^{\prime \prime \prime}(x) = \frac{4 \cdot 2 \cdot (-2)}{(1-2x)^{4}} – \frac{9 \cdot 2 \cdot 3}{(1 + 3x)^{4}}.
$$

Next

于是，当 $x = 0$ 时：

$$
f^{\prime \prime \prime}(0) = \frac{4 \cdot 2 \cdot (-2)}{(1)^{4}} – \frac{9 \cdot 2 \cdot 3}{(1)^{4}} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime \prime \prime}(0) = -16 – 54 = – (16 + 54) = -70.
$$

---