关于二元函数极值、极值点和驻点的一些结论

一、前言

在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）总结了关于二元函数的极值点、驻点以及极值的一些结论，可以帮助我们更好的理解二元函数的一些性质。

对于一元函数极值点和最值点的解析，可以点击下面的按钮查看：

二、正文

结论 1

若点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为函数 $f(x, y)$ 的极值点, 则 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 不一定是 $f(x, y)$ 的驻点。

原因：

驻点是一阶导为 $0$ 的点，但是当一点处的导数不存在的时候，也可能存在极值，例如，函数：

$$
f(x, y) = |x| + |y|
$$

在 $(0, 0)$ 处取得极小值，但是，该点处的一阶偏导数 $f^{\prime}{x}(0, 0)$ 和 $f^{\prime}{y}(0, 0)$ 都不存在。

也就是说：极值点会出现于驻点或者一些不可导点。

或者说：可导函数内部的极值点一定是其驻点。

结论 2

若点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为函数 $f(x, y)$ 的驻点，则 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 不一定为 $f(x, y)$ 的极值点。

原因：

极值点是一阶导函数值的正负在该点处发生改变的点，但是驻点指的仅仅是一阶导函数为零的点，例如，函数：

$$
f(x, y) = 1
$$

在 $(0, 0)$ 处就存在驻点，但在该点的左右两侧，一阶偏导数 $f^{\prime}{x}(0, 0)$ 和 $f^{\prime}{y}(0, 0)$ 的正负并没有发生改变，因此，点 $(0, 0)$ 就不是函数 $f(x, y) = 1$ 的一个极值点。

又例如，函数：

$$
f(x, y) = x^{3} + y^{3} \Rightarrow
$$

$$
f_{x}^{\prime}(0, 0) = 3x^{2} |_{x = 0} = 0
$$

$$
f_{y}^{\prime}(0, 0) = 3y^{2} |_{y = 0} = 0
$$

但由于一阶偏导数 $f^{\prime}{x}(x, y)$ $=$ $3x^{2}$ 和 $f^{\prime}{y}(x, y)$ $=$ $3y^{2}$ 的正负性，在点 $(0,0)$ 的左右两侧并没有发生改变，因此，点 $(0, 0)$ 就不是函数 $f(x, y)$ $=$ $x^{3}$ $+$ $y^{3}$ 的一个极值点。

结论 3

若点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为有界闭区域 $D$ 上连续的函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 内部唯一的极值点, 且 $f(x, y)$ 在该点取极大值，则 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 不一定取得它在 $D$ 上的最大值。

原因：

极值点是位于函数定义域内部的，不可能位于一元函数的端点上（或者二元函数的边界上），因为极值点的存在与否需要依赖于该点两侧邻域内的其他点进行判断。

因此，判断一个极值点是否是最值点，还需要和函数的端点值进行比较。

结论 4

若函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处取得极小值，则 $f\left(x, y_{0}\right)$ 在 $x=x_{0}$ 处取极小值，$f\left(x_{0}, y\right)$ 在 $y=y_{0}$ 处取极小值。

原因：

根据二元函数极值点的性质可知，只有当函数 $f(x ,y)$ 在点 $y = y_{0}$ 和点 $x = x_{0}$ 处都取得极小值或者都取得极大值的时候，函数 $f(x, y)$ 才会在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 取得极小值或者极大值。

---