题目没问是极大值点还是极小值点的时候也要求解二阶导——因为一阶导等于零的点不一定有极值

一、题目

已知 $y=y(x)$ 是由方程 $2 y^{3}-2 y^{2}+2 x y-x^{2}=1$ 确定的，则 $y=y(x)$ 的极值点是多少？

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二、解析

首先找到使 $y=y(x)$ 一阶导等于零的点：

$$
2 y^{3}-2 y^{2}+2 x y-x^{2}=1 \Rightarrow \tag{1}
$$

左右两边同时对 $x$ 求导：

$$
6 y^{2} \cdot y^{\prime}-4 y \cdot y^{\prime}+2 y+2 x y^{\prime}-2 x=0 \Rightarrow \tag{2}
$$

$$
y^{\prime}=0 \Rightarrow
$$

$$
2 y-2 x=0 \Rightarrow x=y
$$

将 $y = x$ 代入到 $(1)$ 式中：

$$
2 x^{3}-2 x^{2}+2 x^{2}-x^{2}=1 \Rightarrow
$$

$$
2 x^{3}-x^{2}=1 \Rightarrow x^{2}(2 x-1)=1 \Rightarrow x = y =1
$$

根据《一阶等于零的点不一定是极值点》这篇文章可知，我们需要继续求导，找到二阶导以验证一阶导等于零的点是否是极值点：

对 $(2)$ 式进行整理在其左右两边同时对 $x$ 求导：

$$
y^{\prime}\left(6 y^{2}-4 y+2 x\right)+2 y-2 x=0 \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime \prime}\left(6 y^{2}-4 y+2 x\right)+y^{\prime}\left(12 y \cdot y^{\prime}-4 y^{\prime}+2\right)+
$$

$$
2 y^{\prime}-2=0 \Rightarrow
$$

$$
x=1, \quad y=1, \quad y^{\prime}=0 \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime \prime}(6-4+2)-2=0 \Rightarrow 4 y^{\prime \prime}=2 \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime \prime}=\frac{1}{2}>0
$$

于是可知，$(1, 1)$ 或者说 $x = 1$ 是函数 $y = y(x)$ 的极值点，而且是极小值点。

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