求解 $y^{\prime \prime}$ $+$ $4 y^{\prime}$ $+$ $4y$ $=$ $e^{-2x}$ 满足指定条件的特解

一、题目

方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $4 y^{\prime}$ $+$ $4y$ $=$ $e^{-2x}$ 满足 $y(0)$ $=$ $0$, $y^{\prime}(0)$ $=$ $1$ 的特解是多少？

难度评级：

二、解析

1. 求解“齐通”（齐次微分方程的通解）

首先，特征方程如下：

$$
\lambda^{2} + 4 \lambda + 4 = 0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda = \frac{-4 \pm \sqrt{16 – 16}}{2} \Rightarrow
$$

$$
\lambda_{1} = \lambda_{2} = \frac{-4 \pm 0}{2} = -2.
$$

Next

于是，齐次微分方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $4 y^{\prime}$ $+$ $4y$ $=$ $0$ 对应的通解为：

$$
y = (C_{1} + C_{2} x)e^{\lambda x} \Rightarrow
$$

$$
y = (C_{1} + C_{2} x)e^{-2 x}
$$

2. 求解“非齐特”（非齐次微分方程的特解）

设非齐次微分方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $4 y^{\prime}$ $+$ $4y$ $=$ $e^{-2x}$ 的特解为：

$$
y^{*} = a x^{k} e^{-2x}
$$

Next

又因为 $\lambda$ $=$ $-2$ 是对应的特征方程的二重根，因此：

$$
k = 2 \Rightarrow
$$

$$
y^{*} = a x^{2} e^{-2x} \quad ①
$$

Next

进而有（下面的计算步骤略繁琐，一定要仔细计算）：

$$
(y^{*})^{\prime} = a(2xe^{-2x} – 2x^{2} e^{-2x}) \quad ②
$$

$$
(y^{*})^{\prime \prime} = a(2xe^{-2x} – 2x^{2} e^{-2x})^{\prime} \Rightarrow
$$

$$
(y^{*})^{\prime \prime} = a [(2e^{-2x} – 4xe^{-2x}) – (4xe^{-2x} – 4x^{2} e^{-2x})] \Rightarrow
$$

$$
(y^{*})^{\prime \prime} = a(2e^{-2x} – 4xe^{-2x} – 4xe^{-2x} + 4x^{2} e^{-2x}) \quad ③
$$

将前面得出的 $①$、$②$、$③$ 式代入到 $y^{\prime \prime}$ $+$ $4 y^{\prime}$ $+$ $4y$ $=$ $e^{-2x}$ 中：

Next

$$
a(2e^{-2x} – 4xe^{-2x} – 4xe^{-2x} + 4x^{2} e^{-2x}) +
$$

$$
4 a(2xxe^{-2x} – 2x^{2} e^{-2x}) + 4ax^{2} e^{-2x} = e^{-2x} \Rightarrow
$$

Next

$$
a(2 – 4x – 4x + 4x^{2}) + 4a(2x – 2x^{2}) + 4ax^{2} = 1 \Rightarrow
$$

$$
a(2 – 8x + 4x^{2} + 8x – 8x^{2} + 4x^{2}) = 1 \Rightarrow
$$

$$
2a = 1 \Rightarrow
$$

$$
a = \frac{1}{2}.
$$

Next

因此，非齐次微分方程的特解为：

$$
y^{*} = a x^{2} e^{-2x} = \frac{1}{2} x^{2} e^{-2x}
$$

3. 求解“非齐通”（非齐次微分方程的通解）

由“非齐通 = 齐通 + 非齐特”可知，该非齐次微分方程的通解为：

$$
y = (C_{1} + C_{2}x)e^{-2x} + \frac{1}{2} x^{2} e^{-2x}
$$

4. 求解满足指定条件的“非齐特”

已知：

$$
y(0) = 0
$$

$$
y^{\prime}(0) = 1
$$

Next

而且：

$$
y = (C_{1} + C_{2}x)e^{-2x} + \frac{1}{2} x^{2} e^{-2x}
$$

$$
y^{\prime} = C_{2} e^{-2x} – 2(C_{1} + C_{2} x)e^{-2x} + \frac{1}{2}(2x e^{-2x} – 2x^{2} e^{-2x})
$$

Next

于是：

$$
y(0) = 0 = C_{1} + 0 = 0 \Rightarrow
$$

$$
C_{1} = 0
$$

$$
y^{\prime}(0) = 1 = C_{2} – 0 + 0 \Rightarrow
$$

$$
C_{2} = 1
$$

Next

因此，方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $4 y^{\prime}$ $+$ $4y$ $=$ $e^{-2x}$ 满足 $y(0)$ $=$ $0$, $y^{\prime}(0)$ $=$ $1$ 的特解是：

$$
y = xe^{-2x} + \frac{1}{2} x^{2} e^{-2x}
$$

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