可导必连续：连续不一定可导，不连续一定不可导

一、题目

已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}, & x \leqslant 0, \\ x^{a} \sin \frac{1}{x}, & x>0,\end{array}\right.$ 若 $f(x)$ 可导，则 $\alpha$ 应满足什么条件？若 $f^{\prime}(x)$ 连续，则 $\alpha$ 应满足什么条件？

难度评级：

二、解析

第一问

若 $f(x)$ 可导，则必有：

$$
f^{\prime}\left(0^{-}\right)=f^{\prime}\left(0^{+}\right)
$$

又：

$$
f^{\prime}\left(0^{-}\right)=\lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(\Delta x)-f(0)}{\Delta x}= \lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(\Delta x)^{2}}{\Delta x}=0.
$$

$$
f^{\prime}\left(0^{+}\right)=\lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=
$$

$$
\lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(\Delta x)^{\alpha} \sin \frac{1}{\Delta x}-0}{\Delta x}= f^{\prime}\left(0^{-}\right) = 0 \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(\Delta x)^{\alpha}}{\Delta x} \cdot \sin \frac{1}{\Delta x} = 0 \Rightarrow \alpha>1
$$

Tips

根据《有界震荡无极限与无界震荡无极限》可知，$\sin \frac{1}{\Delta x}$ 是有界震荡无极限函数，则：$0 \cdot \sin \frac{1}{\Delta x} = 0$.

同时，下文中的计算过程还会用到上述原理。

第二问

由题可知：

$$
\left(x^{\alpha} \sin \frac{1}{x}\right)^{\prime}=\alpha x^{\alpha-1} \sin \frac{1}{x}+x^{\alpha} \cdot \frac{-1}{x^{2}} \cos \frac{1}{x}=0 \Rightarrow
$$

于是，若要使 $f^{\prime}(x)$ 在点 $x = 0$ 处连续，则：

$$
\begin{cases}
\alpha x^{\alpha-1}=0; \\
-x^{\alpha-2}=0
\end{cases}
\Rightarrow \alpha > 2
$$

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