[高数]有界震荡无极限与无界震荡无极限

前言

和《[高数]形象化理解无穷大量与无界函数之间的关系》中所分析的“何为无穷”类似，【极限】也是“过程”的产物，而且这个过程必须是无间断的，单调的过程。于是，所有间断点都是极限不存在的点——震荡间断点自然也是极限不存在的点。

如果细分的话，震荡间断点又可以分为“有界震荡无极限”和“无界震荡无极限”两类间断点，本文将对此分别给出两个实际函数的图像，以作参考。

函数 $y = \sin(\frac{1}{x})$ 在 $x = 0$ 附近处于有界震荡状态，因此，$x = 0$ 是其有界震荡间断点，如图 1 所示：

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图 1 使用 MATLAB R2016a 程序绘制，MATLAB 代码如下：

x = -3:0.000001:3;
y = sin (1 ./ x);
plot(x, y)

虽然在图 1 中 $x = 0$ 附近看上去都是函数图像，但这只是视觉上的效果，实际上，函数图像只会无限逼近于 $x = 0$ 这条直线，而不可能与之重合，而且 $x = 0$ 处并没有定义。

函数 $y = \frac{1}{x} \sin(\frac{1}{x})$ 在 $x = 0$ 附近处于无界震荡状态，因此，$x = 0$ 是其无界震荡间断点，如图 2 所示：

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图 2 使用 MATLAB R2016a 程序绘制，MATLAB 代码如下：

x = -5:0.01:5;
y = (1 ./ x) .* sin (1 ./ x);
plot(x, y)

从图 2 中可以看到，有些函数图像是一直向外延伸没有返回的，具有明显的无界震荡特征。

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