拉格朗日显神威：求解一道看上去“好做”但“不好做”其实“很好做”的题目

一、题目

已知 $f^{\prime}(0)=0$, 且 $f^{\prime \prime}(0)$ 存在, 求极限：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(\ln (1+x))}{x^{3}} = ?
$$

难度评级：

二、解析

本题是 $\frac{0}{0}$ 型的式子，但是用洛必达和等价无穷小代换都不好做——另一种常用的方法就是使用泰勒公式。但是，由于我们通过题目只知道 $f^{\prime \prime}(0)$ 存在，不知道 $f^{\prime \prime \prime}(0)$ 是否存在，因此，我们只能写出如下泰勒公式：

$$
f(x) = f(0) + f^{\prime}(0) x + \frac{f^{\prime \prime}(0)}{2!} x^{2} + o(x^{2})
$$

但问题是，当 $x \rightarrow 0$ 时，$x^{2}$ 的高阶无穷小 $o(x^{2})$ 和 $x^{3}$ 的比值我们是无法确定的。

于是可知，本题用泰勒公式也不好做。

此外，根据本题所给的条件和要求解的式子的形式可知，本题会用到导数在一点处的定义，但我们会发现，如果第一步就试图使用导数在一点处的定义求解本题，也很难做。

那么，根据要求解的式子的形式，另一个办法就是使用勒格朗日中值定理了。

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(\ln (1+x))}{x^{3}} =
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{ f^{\prime}(\xi) [ x – \ln (1+x)]}{x^{3}} =
$$

Tips:

由于，当 $x > -1$ 时，有 $\frac{x}{1+x} < \ln (1 + x) < x$, 因此：$\xi \in (\ln (1+x), x)$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{ f^{\prime}(\xi) [ \frac{1}{2} x^{2} ]}{x^{3}} =
$$

$$
\frac{1}{2} \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{ f^{\prime}(\xi) }{x} =
$$

利用导数在一点处的定义解构 $\frac{ f^{\prime}(\xi) }{x}$:

$$
\frac{1}{2} \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{ f^{\prime}(\xi) – f^{\prime}(0) }{\xi – 0} \cdot \frac{\xi}{x} =
$$

$$
\frac{1}{2} \lim \limits_{x \rightarrow 0} f^{\prime \prime} (0) \cdot \frac{\xi}{x} =
$$

Tips:

$\xi \in (\ln (1+x), x)$ $\Rightarrow$ $\ln(1+x) < \xi < x$ $\Rightarrow$ $\lim_{x \rightarrow 0}$ $[\frac{\ln (1+x)}{x} < \frac{\xi}{x} < \frac{x}{x}]$ $\Rightarrow$ 根据夹逼准则可知，无论 $x \rightarrow 0^{+}$ 还是 $x \rightarrow 0^{-}$, 都能推出 $\frac{\xi}{x}$ 此时极限为 $1$ 的结论。

$$
\frac{1}{2} \lim \limits_{x \rightarrow 0} f^{\prime \prime} (0) \cdot 1 = \frac{1}{2} f^{\prime \prime} (0).
$$

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