在无穷量存在的式子中代入极限值的时候，必须在分子分母中同时进行代换操作——不能只在分子或者分母中代入极限值

一、题目

已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{4}+a x+b}{(x-1)(x+2)}, & x \neq 1, x \neq-2, \\ 2, & x=1,\end{array}\right.$

且 $f(x)$ 在点 $x=1$ 处连续, 则 $(a, b) = ?$

难度评级：

二、解析

错误的解法

由题可知：

$$
\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{4}+a x+b}{(x-1)(x+2)} = 2 \Rightarrow
$$

先将 $\lim_{x \rightarrow 1} (x + 2) = 3$ 的极限值代入：

$$
\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{4}+a x+b}{(x-1) \cdot 3} = 2 \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 1} (x^{4}+a x+b) = \lim_{x \rightarrow 1} 6 \cdot (x-1).
$$

上面的计算步骤是错的。虽然，$x-1$ 和 $x – 2$ 的极限都存在，根据《极限的乘法运算规律》是可以拆开分别求极限的，但是，我们在进行极限值的代入时，必须在分子分母中同时进行代换操作——不能只在分子或者分母中代入极限值，因此，上面的操作步骤就是错的。

另外一个理解就是，只有在拆开之后，符合极限四则运算规律的情况下，才能分别求极限，但是，在分子或者分母中单独进行极限值的代入，并不意味着原来的式子拆开之后一定符合极限的四则运算规律，因此，不能直接单独代入。

正确的解法

由题可知：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^{4}+a x+b}{(x-1)(x+2)}=2.
$$

于是：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 1}(x-1)(x+2)=0 \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 1}\left(x^{4}+a x+b\right)=0 \Rightarrow
$$

$$
1+a+b=0.
$$

接着：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^{4}+a x+b}{(x-1)(x+2)}=\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^{4}+a x+b}{x^{2}+x-2} \Rightarrow
$$

洛必达运算：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{4 x^{3}+a}{2 x+1}=
$$

代入极限值：

$$
\frac{4+a}{3}=2.
$$

又：

$$
\begin{cases}
& a=2; \\
& 1+a+b=0
\end{cases}
\Rightarrow
$$

$$
1+2+b=0 \Rightarrow b=-3
$$

综上：

$$
\begin{cases}
& a = 2;\\
& b = -3.
\end{cases}
$$

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