2014年考研数二第04题解析

题目

曲线 $\left\{\begin{matrix}
x = t^{2} + 7,\\
y = t^{2} + 4t + 1
\end{matrix}\right.$ 上对应于 $t=1$ 处的曲率半径为 $?$

$$
A. \frac{\sqrt{10}}{50}
$$

$$
B. \frac{\sqrt{10}}{100}
$$

$$
C. 10 \sqrt{10}
$$

$$
D. 5 \sqrt{10}
$$

解析

已知:

$$
曲率 k = \frac{|y^{”}|}{(1+y^{‘2})^{\frac{3}{2}}}.
$$

$$
曲率半径 R = \frac{1}{k}.
$$

又:

$$
\frac{dy}{dt} =
$$

$$
2t+4.
$$

$$
\frac{dx}{dt} =
$$

$$
2t.
$$

$$
y^{‘} = \frac{2t+4}{2t}.
$$

$$
\frac{dy^{‘}}{dt} =
$$

$$
\frac{2(2t) – (2t+4) \cdot 2}{(2t)^{2}}.
$$

$$
y^{”} =
$$

$$
\frac{2(2t) – (2t+4) \cdot 2}{(2t)^{3}}.
$$

当 $t=1$ 时:

$$
y^{‘} = 3.
$$

$$
y^{”} = -1.
$$

于是:

$$
k = \frac{1}{(1+9)^{\frac{3}{2}}} =
$$

$$
\frac{1}{\sqrt{1000}}
$$

$$
R = \sqrt{1000} = 10\sqrt{10}.
$$

综上可知,正确选项为 $C$.

EOF