2015年考研数二第02题解析

题目

函数 $f(x)=\underset{t\to 0}{lim}(1+\frac{\sin t}{x}{)}^{\frac{x^2}{t}}$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 内 $?$

$$A.\mathrm{连}\mathrm{续}$$

$$B.\mathrm{有}\mathrm{可}\mathrm{去}\mathrm{间}\mathrm{断}\mathrm{点}$$

$$C.\mathrm{有}\mathrm{跳}\mathrm{跃}\mathrm{间}\mathrm{断}\mathrm{点}$$

$$D.\mathrm{有}\mathrm{无}\mathrm{穷}\mathrm{间}\mathrm{断}\mathrm{点}$$

解析

函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 这一点处没有定义，因此，如果 $f(x)$ 存在间断点，那么一定是在 $x=0$ 处产生。于是，我们可以对 $f(x)$ 分别在 $0$ 的左右两侧求极限，根据极限值判断该点处的情况。

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}f(x)=$$

$$\underset{t\to 0,x\to 0^{+}}{lim}(1+\frac{x}{x}{)}^{|x|}=$$

$$(1+1{)}^0=1.$$

$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}f(x)=$$

$$\underset{t\to 0,x\to 0^{-}}{lim}(1+\frac{-x}{x}{)}^{|x|}=$$

$$(1-1{)}^0=0^0=1.$$

注意：在高等数学中，可以认为 $0^0=1$,

$\underset{x\to 0^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to 0^{-}}{lim}f(x)$, 但 $x\ne 0$, 因此，$f(x)$ 在 $x=0$ 处存在可去间断点。

综上可知，正确选项为 $B$.

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