2017年考研数二第03题解析：数列极限、数列收敛

一、题目

⟨A⟩. 当 $\lim_{n \rightarrow \infty} \sin x_{n}$ $=$ $0$ 时，$\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ $=$ $0$.

⟨B⟩. 当 $\lim_{n \rightarrow \infty} (x_{n} + \sqrt{|x_{n}|})$ $=$ $0$ 时，$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $=$ $0$.

⟨C⟩. 当 $\lim_{n \rightarrow \infty} (x_{n} + x_{n}^{2})$ $=$ $0$ 时，$\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ $=$ $0$.

⟨D⟩. 当 $\lim_{n \rightarrow \infty} (x_{n} + \sin x_{n})$ $=$ $0$ 时，$\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ $=$ $0$.

二、解析

注意：

“收敛“不一定收敛于 $0$, 收敛可能收敛于任意一个实数。

$A$ 项：

$x = k \pi (k = 0, 1, 2, 3 …)$ 时，都有 $\sin x = 0$, 因此，$A$ 项错。

$B$ 项：

当 $x = -1$ 时，有 $x + \sqrt{|x|} = 0$, 因此，$B$ 项错。

$C$ 项：

当 $x=-1$ 时，有 $x + x^{2} = 0$, 因此，$C$ 项错。

$D$ 项：

当 $x + \sin x = 0$ 时，必有：

$$
x = – \sin x.
$$

若要 $x \neq 0$,

则 $y = \sin x$ 与 $y = x$ 的图像必须有除了 $(0,0)$ 之外的其他交点，但是 $y = \sin x$ 与 $y = x$ 的图像只有 $(0,0)$ 这一个交点，即必须有 $x=0$, 则 $x + \sin x = 0$ 才会成立。因此，$D$ 项正确。

综上可知，正确选项为 $D$.

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