2018年考研数二第09题解析

题目

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} x^{2}[\arctan (x+1) – \arctan x] = ?
$$

解析

等价无穷小替换可以用在式子整体的乘除运算中,但等价无穷小替换【通常】是不能用在加减式中,无论这个【加减】是式子整体的加减还是局部的加减。因此,下面这个解题过程是错误的:

已知:

$$
\arctan x \sim x.
$$

所以:

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} x^{2}[\arctan (x+1) – \arctan x] =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} x^{2}[(x+1) – x]=
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} x^{2} + 1 = +\infty .
$$

方法一:

由于不能直接使用等价无穷小替换(没有合适的公式),因此,尝试使用洛必达法则:

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} x^{2}[\arctan (x+1) – \arctan x] =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\arctan (x+1) – \arctan x}{x^{-2}} \Rightarrow 洛必达 \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{(\arctan (x+1) – \arctan x)^{‘}}{(x^{-2})^{‘}} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\frac{1}{1+(x+1)^{2}} – \frac{1}{1+x^{2}}}{-2x^{-3}}=
$$

$$
\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{-1-2x}{(1+x^{2}+1+2x)(1+x^{2})} \times (-\frac{1}{2}) \cdot x^{3}. ①
$$

观察 $①$ 式可知,分母中 $x$ 的最大次方数是 $4$, 分子中 $x$ 的最大次方数也是 $4$. 于是,当 $x \rightarrow + \infty$ 时,有:

$$
① \Rightarrow \lim_{x \Rightarrow + \infty} \frac{x^{4}}{x^{4}} = \lim_{x \Rightarrow + \infty} \frac{1}{1} = 1.
$$

方法二:

本题也可以使用拉格朗日中值定理做。

设 $f(k) = \arctan k$, 则:

$$
\arctan (x+1) – \arctan x = f(x+1) – f(x).
$$

又由于 $f(x+1) – f(x)$ 可导且连续,于是,由拉格朗日中值定理知,必存在 $\xi \in (x, x+1)$, 使得下式成立:

$$
\frac{f(x+1) – f(x)}{(x+1) – x} = f^{‘}(\xi) \Rightarrow
$$

$$
f(x+1) – f(x) = f^{‘}(\xi) \Rightarrow
$$

$$
\arctan (x+1) – \arctan x = f^{‘}(\xi) = \frac{1}{1+ \xi ^{2}}.
$$

于是:

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} x^{2}[\arctan (x+1) – \arctan x] =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{x^{2}}{1+\xi ^{2}}.
$$

又因为 $\xi \in (x, x+1)$, 所以:

$$
\frac{x^{2}}{1+(x+1)^{2}} < \frac{x^{2}}{1+\xi ^{2}} < \frac{x^{2}}{1+x^{2}}
$$

又:

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{x^{2}}{1+(x+1)^{2}} = \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{x^{2}}{1+x^{2}} = 1.
$$

所以:

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{x^{2}}{1+\xi ^{2}} = 1
$$

即:

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} x^{2}[\arctan (x+1) – \arctan x] = 1.
$$

综上可知,正确答案为 $1$.

EOF


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