2018年考研数二第09题解析

题目

$lim_{x \to + \infty} x^{2} [\arctan (x + 1) - \arctan x] = ?$

等价无穷小替换可以用在式子整体的乘除运算中，但等价无穷小替换【通常】是不能用在加减式中，无论这个【加减】是式子整体的加减还是局部的加减。因此，下面这个解题过程是错误的：

已知：

$\arctan x \sim x .$

所以：

$lim_{x \to + \infty} x^{2} [\arctan (x + 1) - \arctan x] =$

$lim_{x \to + \infty} x^{2} [(x + 1) - x] =$

$lim_{x \to + \infty} x^{2} + 1 = + \infty .$

方法一：

由于不能直接使用等价无穷小替换（没有合适的公式），因此，尝试使用洛必达法则：

$lim_{x \to + \infty} x^{2} [\arctan (x + 1) - \arctan x] =$

$lim_{x \to + \infty} \frac{\arctan (x + 1) - \arctan x}{x^{- 2}} \Rightarrow 洛必达 \Rightarrow$

$lim_{x \to + \infty} \frac{(\arctan (x + 1) - \arctan x)^{‘}}{(x^{- 2})^{‘}} =$

$lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{1}{1 + (x + 1)^{2}} - \frac{1}{1 + x^{2}}}{- 2 x^{- 3}} =$

$lim_{x \to + \infty} \frac{- 1 - 2 x}{(1 + x^{2} + 1 + 2 x) (1 + x^{2})} \times (- \frac{1}{2}) \cdot x^{3} . ①$

观察 $①$ 式可知，分母中 $x$ 的最大次方数是 $4$ , 分子中 $x$ 的最大次方数也是 $4$ . 于是，当 $x \to + \infty$ 时，有：

$① \Rightarrow lim_{x \Rightarrow + \infty} \frac{x^{4}}{x^{4}} = lim_{x \Rightarrow + \infty} \frac{1}{1} = 1.$

方法二：

本题也可以使用拉格朗日中值定理做。

设 $f (k) = \arctan k$ , 则：

$\arctan (x + 1) - \arctan x = f (x + 1) - f (x) .$

又由于 $f (x + 1) - f (x)$ 可导且连续，于是，由拉格朗日中值定理知，必存在 $ξ \in (x, x + 1)$ , 使得下式成立：

$\frac{f (x + 1) - f (x)}{(x + 1) - x} = f^{‘} (ξ) \Rightarrow$

$f (x + 1) - f (x) = f^{‘} (ξ) \Rightarrow$

$\arctan (x + 1) - \arctan x = f^{‘} (ξ) = \frac{1}{1 + ξ^{2}} .$

于是：

$lim_{x \to + \infty} x^{2} [\arctan (x + 1) - \arctan x] =$

$lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2}}{1 + ξ^{2}} .$

又因为 $ξ \in (x, x + 1)$ , 所以：

$\frac{x^{2}}{1 + (x + 1)^{2}} < \frac{x^{2}}{1 + ξ^{2}} < \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$

又：

$lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2}}{1 + (x + 1)^{2}} = lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} = 1.$

所以：

$lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2}}{1 + ξ^{2}} = 1$

即：

$lim_{x \to + \infty} x^{2} [\arctan (x + 1) - \arctan x] = 1.$

综上可知，正确答案为 $1$ .

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