2018年考研数二第01题解析

题目

若 $lim_{x \to 0} (e^{x} + a x^{2} + b x)^{\frac{1}{x^{2}}} = 1$ , 则 $?$

$A . a = \frac{1}{2}, b = - 1$

$B . a = - \frac{1}{2}, b = - 1$

$C . a = \frac{1}{2}, b = 1$

$D . a = - \frac{1}{2}, b = 1$

由于当 $x \to 0$ 时， $e^{x} + a x^{2} + b x \to 0$ 且 $\frac{1}{x^{2}} \to \infty$ , 符合 $1^{\infty}$ 的形式，因此，可能会用到下面这个公式：

$lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{x} = e .$

于是，我们就要往上面的公式的形式上凑。

$lim_{x \to 0} (e^{x} + a x^{2} + b x)^{\frac{1}{x^{2}}} = 1 \Rightarrow$

$lim_{x \to 0} [(1 + e^{x} + a x^{2} + b x - 1)^{\frac{1}{e^{x} + a x^{2} + b x - 1}}]^{\frac{e^{x} + a x^{2} + b x - 1}{x^{2}}} = 1 \Rightarrow$

$e^{lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + a x^{2} + b x - 1}{x^{2}}} = 1 \Rightarrow$

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + a x^{2} + b x - 1}{x^{2}} = 0 \Rightarrow 洛必达 \Rightarrow$

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 2 a x + b}{2 x} = 0 \Rightarrow 洛必达 \Rightarrow ①$

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 2 a}{2} = 0$

由于“ $0$ 除以 ( $0$ 做除数) 任何不是 $0$ 的数都得 $0$ ”, 因此：

$e^{x} + 2 a = 0$

又 $x \to 0$ , 所以有：

$1 + 2 a = 0.$

即：

$a = - \frac{1}{2}$

把 $a = - \frac{1}{2}$ 代入 $①$ 式得：

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - x + b}{2 x} = 0 \Rightarrow$

$\frac{1 - 0 + b}{0} = 0 \Rightarrow$

$\frac{1 + b}{0} = 0 ②$

如果 $1 + b \neq 0$ , 则 $②$ 式违背了数学基本原理，因此，必须构成 $\frac{0}{0}$ 极限未定式才可以，于是有：

$1 + b = 0$

即：

$b = - 1$

综上可知， $a = - \frac{1}{2}, b = - 1$ , 正确选项为 $B$ .

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