2019年考研数二第02题解析

题目

曲线 y=xsinx+2cosx,(π2<x<2π) 的拐点是 ?

A. (0,2)

B. (π,2)

C. (π2,π2)

D. (3π2,3π2)

解析

拐点产生于凹凸性的改变, 因此, 找拐点就是找函数凹凸性发生改变的位置.

函数的凹凸性可以使用该函数的二阶导函数的正负进行判断.至于为什么可以这样判断, 可以使用如下的例子辅助记忆:

  • y=x2 是一个凹函数;
  • y=2x 是一个在 (,0) 区间内为负, 在 (0,+) 区间内为正的函数;
  • y=2 是一个恒正的函数.

由上可知, 当 y>0 时, y 为凹函数, 推广知, 当 y<0 时, y 为凸函数.

因此, 先求出二阶导函数:

y=sinx+xcosx2sinx.

y=cosx+cosxxsinx2cosx=xsinx.

为了确定二阶导函数正负函数值所对应的区间,首先应该确定二阶导函数函数值为 0 的点, 因此, 令:

y=0,

则:

x=0;

或者:

x=π.

由此, 再加上题中给出的区间条件, 可以把要讨论的区间分成三部分, 分别是:

(π2,0);

(0,π);

(π,2π).

其中:

(π2,0); 内:

x>0

sinx<0;

因此:

y<0.

同理可知:

(0,π) 内, y<0;

(π,2π) 内, y>0.

由上可知, y 的正负在 x=π 两侧发生改变, 因此, y 的拐点必然在 x=π 这条线上.

x=π 带入 y=xsinx+2cosx 可得:

y=2;

因此, y 的拐点为:

(π,2).

正确答案为: B.

EOF


荒原之梦网全部内容均为原创,提供了涵盖考研数学基础知识、考研数学真题、考研数学练习题和计算机科学等方面,大量精心研发的学习资源。

豫 ICP 备 17023611 号-1 | 公网安备 - 荒原之梦 豫公网安备 41142502000132 号 | SiteMap
Copyright © 2017-2024 ZhaoKaifeng.com 版权所有 All Rights Reserved.

Copyright © 2024   zhaokaifeng.com   All Rights Reserved.
豫ICP备17023611号-1
 豫公网安备41142502000132号

荒原之梦 自豪地采用WordPress