在极限问题中，不要相信任何一个“等号” 一、题目 I=limx→+∞[x1+x(1+x)x−xe]=? 二、解析 I=limx→+∞[x1+x(1+x)x–xe]=limx→+∞[x⋅xx(1+x)x–xe]=limx→+∞[x(1+x)xxx–xe]=limx→+∞[x(1+xx)x–xe]=limx→+∞[x(1+1x)x–xe] 我们知道，当 x→+∞, 式子 (1+1x)x 的极限为 e. 但是，严格地说，即便 x→+∞, (1+1x)x 和 e 之间也不是真正的相等关系。 所以，limx→+∞[x(1+1x)x–xe] ≠ limx→+∞[xe–xe] ≠ 0. 令 1x = t, x = 1t, 则： I=limt→0+[1t(1+t)1t–1te]=limt→0+1t[1(1+t)1t–1e]=limt→0+1t[ee(1+t)1t–(1+t)1te(1+t)1t]=limt→0+e–(1+t)1tte(1+t)1t=1elimt→0+e–e1tln(1+t)t(1+t)1t=1elimt→0+e(1–e1tln(1+t)–1)te=−1elimt→0+e1tln(1+t)–1–1t⇝limt→0+[1tln(1+t)–1]=0=−1elimt→0+e1tln(1+t)–1–1t=−1elimt→0+e1t[ln(1+t)–t]–1t=−1elimt→0+ln(1+t)–tt2=−1elimt→0+−12t2+o(t2)t2=12e 相关文章： 分块矩阵的秩相关公式及实战化解释 对含有 sin 或 cos 的被积函数做分部积分一般要做两次 借助函数或数列的思想研究向量的变化过程 高等数学中常见的2+5种”真未定式”和1+1种”假未定式”的解题思路图 基于条件概率详解全概率公式的证明 投石问路：线性代数中的升阶法详解 构成卡方分布的正态分布必须是标准正态分布且系数为 1 典型例题汇总：定积分（奇偶性、几何意义、三角代换、区间再现） 级数 limn→∞ ∑n=1n ein 求和怎么计算？ 这道题目看似很简单，但全身都是“坑” 利用定积分的定义计算两个简单的定积分 对“二阶嵌套分式”的一种快速变形定理 矩阵乘法的次幂是不能放到括号里面的：即便他们相乘得单位矩阵 这道题你去几次根号可以解出来？ 如果不能完全去掉根号，也要想办法把根号“挤”到分子上 用一般具体的矩阵证明矩阵乘法的转置运算律 如何确定行列式展开式中有效项的个数？ 极限什么时候需要区分正负，什么时候不需要区分正负？ 典型例题汇总：不定积分（凑微分、分部积分、一般有理式积分，三角函数有理式积分等） 考研数学常用积分之：含有 ax + b 的积分 一次性看懂期望和均值的联系与区别 1990 年考研数二真题解析 2010 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析（三种方法） 趋同和去分母是积分运算中常用的解题思路 复合函数求偏导的两种理解方式
